关于Burgers方程在L∞模下收敛的差分格式
朱 玲，徐维艳，孙 红
【摘 要】 针对Burgers方程建立了一个三层线性化的差分格式，差分格式是唯一可解的.运用离散能量法并结合数学归纳法证明了差分格式在最大模下是无条件收敛的,收敛阶为O(τ2+h2)，并通过数值算例验证了差分格式的理论结果. 【期刊名称】江苏科技大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(032)002 【总页数】5
【关键词】 Burgers方程;有限差分格式;L∞模;收敛性
Burgers方程是一个重要的和普遍的非线性模型,在等离子物理、量子场论、非线性光学和通信技术等领域有着重要的地位和作用. Burgers方程是一个双曲—抛物型非线性微分方程,描述物理问题的对流和耗散的综合过程, 兼有一阶波动方程和热传导方程的特性. 应用有限差分方法研究Burgers方程主要分为两大类:一是当源项f=0时,对Burgers方程作Cole-Holf变换,将其转换成经典的热方程,再对变换后的热方程建立有限差分格式.文献[1-4]中基于Cole-Holf变换对Burgers方程建立的差分格式. 二是当f≠0时,Cole-Holf变换就失效了, 需要用其他数值格式来求解[5-10].目前,对于Burgers方程的差分格式的理论分析相对较少,特别是在L∞模下的稳定性及收敛性分析更少. 文中对Burgers方程建立一个三层的线性化的差分格式,并给出了L∞模下严格的收敛性分析，考虑Burgers方程
式中，φ(x)为给定的光滑函数，且φ(0)=0, φ(1)=0.
1 记号和引理
设m,n为两个正整数, 记xi=ih (0≤i≤m), tk=kτ,(0≤k≤n),Ωh={xi | 0≤i≤m},Ωτ={tk | 0≤k≤n},Ωh,τ={(xi, tk)|0≤i≤m, 0≤k≤n} 对? 定义：
设vh={u|u=(u0,u1,…,um), u0=um=0}是定义在Ωh上的网格函数空间, 对?u,v∈vh, 定义内积和范数：
引理1[9] 对任意的网格函数v∈Vh, 有： 引理2[9] 对任意的网格函数 v∈Vh, 有：
2 差分格式的建立
假设是式(1～3)的解. 设 及
在点处考虑方程式(1), 应用Taylor展开,得： (4)
且存在常数c1,使得：
在点(xi,tk)处考虑方程式(2), 由Taylor展开,有： 1≤i≤m-1, 1≤k≤n-1 (5)
且存在c2,使得： (6) (7)
略去式(4、5)中的小量项, 对式(1～3)可建立差分格式：
对于格式中的ut(xi,0)可以利用方程式(1)和初值条件式(2)求得：
ut(xi,0)=φxx(xi)-φ(xi)φx(xi)+f(xi,0)
3 差分格式的唯一可解性和收敛性
记 则可得误差方程：
引理3 假设是式(1～3)的解, 则差分格式(8～11)是唯一可解的且是无条件收敛的, 存在和h和τ无关的常数C,使得： ‖ek‖∞≤C(τ2+h2) 0≤k≤n (16)
证明: 应用数学归纳法证明此定理. 当k=0,由式(14～15), 有： |e0|1=0, ‖e0‖=0
因此，结论对k=0是成立的.
首先：证明u1是由式(8、11)唯一确定,且式(16)对k=1是成立的. (1) 考虑式(8、11)的齐次方程组, 有： 记 则存在正数使得 |ai|≤A, 1≤i≤m-1. 式(17)两边乘以 并对i求和, 可得： 于是有： 因此, 当有
因而, 方程组(8，11)唯一确定u1. (2) 式(12)两边与作内积, 可得： 则：
关于Burgers方程在L∞模下收敛的差分格式
