北京大学任艳霞概率2013春期末考试题

2013春季学期《概率论》期末考题

出题人：任艳霞 教授

1.

(1)X是取非负整数的随机变量，且EX<∞ 证明：=EX∞∑P(X≥i)

i=1(2)X与Y相互独立，都是取非负整数的随机变量，且E(X+Y)<∞ 证明：E(max{X,Y})=

2.X与Y有联合概率密度分布函数如下：

x∑[1?P(X≤i)P(Y≤i)]

i=0∞1?y?y=f(x,y)ee,0

y(1)计算Y=y的条件下X的条件概率密度 (2)求P(X>1|Y=y),y∈(0,∞)

3.X1与X2是相互独立的随机变量，且均满足标准正态分布。

(X1?X2)2X1+X2令Y1=，Y2=

42(1)Y1与Y2是否独立？为什么？

(2)求Y1，Y2的联合密度函数。

4.汽车的保险索赔额是随机变量，服从指数分布。在有了扣除额d(即d以下不赔付，d以上则减去d)之后赔付款的期望减少了10%，问方差减少了百分之多少？

5.随机变量X1，……，Xn相互独立，且均服从泊松分布。

证明：X1+……+Xn服从泊松分布。

6.n次重复独立试验，结果为1,2，……，k，概率分别为p1，……，pk，且令Ni表示出现i的次数，对i≠j，求E(Nj|Ni>0)

7. Xi(i=1,2,….12)是独立同分布的随机变量，且服从(0,1)间的均匀分布。 求P(∑pi=1ki=1

∑X112i>6)的近似值。

8.随机变量Xn，互相独立。且X2n服从参数为λ的泊松分布，X2n+1服从B(3,p)。

Sn=∑Xj，求常数列Cn，σn使得

j=1nS2n?c2nσ2n依分布收敛到标准正态分布。

9.随机变量Un，Vn，n≥1，且Un依概率收敛到常数c，Vn依概率收敛到常数d。 证明：UnVn依概率收敛到cd。