电大离散数学形考作业答案357合集
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电大离散数学作业答案3-7合集
离散数学作业3
姓 名: 学 号: 得 分: 教师签名: 离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是经过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业,大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求 11月7日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,完成并上交任课教师。
一、填空题
1.设集合A?{1,2,3},B?{1,2},则P(A)-P(B )= {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ,A? B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>} .
2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024.
3.设集合A={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4, 5},R是A到B的二元关系,
R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为 {<2, 2>,<2, 3>,<3, 2>},<3,3> .
4.设集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12}, A到B的二元关系
R={?x,y?y?2x,x?A,y?B} 那么R-1= {<6,3>,<8,4>} 5.设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , ,
6.设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , ,
7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有 2 个.
8.设A={1, 2}上的二元关系为R={
9.设R是集合A上的等价关系,且1 , 2 , 3是A中的元素,则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素.
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10.设A={1,2},B={a,b},C={3,4,5},从A到B的函数f ={<1, a>, <2, b>},从B到C的函数g={< a,4>, < b,3>},则Ran(g? f)= {3,4} .
二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.若集合A = {1,2,3}上的二元关系R={<1, 1>,<2, 2>,<1, 2>},则 (1) R是自反的关系; (2) R是对称的关系.
(1) 错误。R不具有自反的关系,因为<3,3>不属于R。 (2) 错误。R不具有对称的关系,因为<2,1>不属于R。
2.设A={1,2,3},R={<1,1>, <2,2>, <1,2> ,<2,1>},则R是等价关系.
错误。因为3是A的一个元素,但〈3,3〉不在关系R中。等价关系R必须有:对A中任意元素a,R含〈a,a〉.
a ?
3.若偏序集的哈斯图如图一所示,
则集合A的最大元为a,最小元不存在. 解:错误.
集合A的最大元不存在,a是极大元.
4.设集合A={1, 2, 3, 4},B={2, 4, 6, 8},,判断下列关系f是否构成函数f:A?B,并说明理由.
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}; (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>};
b ? ?c ?g
?f
图
? e d ? ?h
(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}.
(1)不构成函数。因为对于3属于A,在B中没有元素与之对应。 (2)不构成函数。因为对于4属于A,在B中没有元素与之对应。 (3)构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。
三、计算题
1.设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4},求:
(1) (A?B)?~C; (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)-P(C); (4) A?B.
解:(1)(A?B)?~C={1}?{1,3,5}?{1,3,5} (3)P(A)?P(C)?{?,{1},{4},{1,4}}?{?,{2},{4},{2,4}} ?{{1},{1,4}}
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(4)A?B =(A?B)-(A?B)={1,2,4,5}?{1}?{2,4,5}
(2)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
2.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(A?B); (2)(A∩B); (3)A×B. 解:(1)A?B ={{1},{2}}
(2)A∩B ={1,2} (3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,
<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,
<2, {1,2}>}
3.设A={1,2,3,4,5},R={
解:R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}
S=空集 R*S=空集 S*R=空集
R-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}
S-1 =空集
r(S)={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}
s(R)={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}
4.设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R是A上的整除关系,B={2, 4, 6}.
(1) 写出关系R的表示式; (2 )画出关系R的哈斯图; (3) 求出集合B的最大元、最小元.
(1) R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}
(2) 哈斯图如下: 8 6 4 3 5 2 7 1
(3)集合B没有最大元,最小元是2
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四、证明题
1.试证明集合等式:A? (B?C)=(A?B) ? (A?C).
1.证明:设,若x∈A? (B?C),则x∈A或x∈B?C, 即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C. 即x∈A?B 且 x∈A?C , 即 x∈T=(A?B) ? (A?C),
因此A? (B?C)? (A?B) ? (A?C).
反之,若x∈(A?B) ? (A?C),则x∈A?B 且 x∈A?C, 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C,
即x∈A或x∈B?C, 即x∈A? (B?C),
因此(A?B) ? (A?C)? A? (B?C). 因此.A? (B?C)=(A?B) ? (A?C).
2.试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C).
2.证明:设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C), 若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ,即 x∈T,因此S?T. 反之,若x∈T,则x∈A∩B 或 x∈A∩C, 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,因此T?S. 因此T=S.
3.对任意三个集合A, B和C,试证明:若A?B = A?C,且A??,则B = C.
(1) 对于任意∈A×B,其中a∈A,b∈B,因为A×B= A×C,
(2)同理,对于任意∈A×C,其中,a∈A,c∈C,因为A×B= A×C 必有∈A×B,其中c∈B,因此C?B 有(1)(2)得B=C
4.试证明:若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.
若R与S是集合A上的自反关系,则任意x∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S,