华理高中数全部复习资料之 定积分应用

第7章 定积分的应用与广义积分

一、定积分应用主要掌握几何应用与物理应用及部分经济应用。 1．几何应用

（1） 平面图形的面积

(i) 直角坐标系下图形的面积 a

A??f?x?dxabay?f?x?obx

1 / 9

yy?f?x?

A???f?x??g?x??dxab

o2 / 9

ydx???y?cx???y?x

A?????y????y??dycd

(ii)极坐标系下平面图形的面积

???

???(?)o???x3 / 9

1?2A??????d?2?

A?1?22??????????d??21??2

???2(?)???1(?)o??x（2） 平面曲线的弧长

y?y(x),a?x?b,S??b直角坐标曲线

a1?y?2?x?dx

??x?x(t)22??,??t??,S?x(t)?y(t)dt???参数式曲线?y?y(t)

?极坐标曲线

???(?),?????,S????2??????2???d?

(3) 立体体积

(i) 平行截面面积为已知的立体体积

4 / 9

A?x?oaxbx

V??A(x)dxab

(ii) 旋转体体积公式(以绕x轴旋转所得的旋转体为例, 类似可得绕y轴旋转所得的旋转体体积公式)

5 / 9

y

y?f(x)o abx