akcbkc→
∵F1B＝?b－ak＋c，b－ak?，
??
akcbkc→
F2B＝?b－ak－c，b－ak?，
??
→→F1B·F2B＝0.
akcbkc
∴?b－ak?2－c2＋?b－ak?2＝0
????
整理得c2k2＝(b－ak)2② c
由①②得＝2
a∴C的离心率e＝2. 答案：2
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
3
9．(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，
2B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； →→→(2)若AP＝3PB，求|AB|. 解：
3
(1)设直线l的方程为y＝x＋b，
2A(x1，y1)，B(x2，y2)
3??y＝2x＋b9由?得x2＋(3b－3)x＋b2＝0.
4
??y2＝3x3－3b4－4b∴x1＋x2＝＝，
934
pp4－4b3
又|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝＋＝4.
2232737
解得b＝－，∴直线l的方程为y＝x－. 8283
(2)设直线l的方程为y＝(x－a)，则P(a,0)．
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
3??y＝2?x－a?由?消去x，得y2－2y－3a＝0. ??y2＝3x→→
∵AP＝3PB，∴y1＝－3y2.
??y1＋y2＝2又?，解得a＝1. ?y1·y2＝－3a?
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－3， ∴|AB|＝ ＝
11＋2·?y1＋y2?2－4y1y2 k
44131＋·4＋12＝.
93
x2y2
10．(2019·天津卷)设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴
ab长为4，离心率为
5. 5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
c5
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝5，b＝2，
a5c＝1.
x2y2
所以，椭圆的方程为＋＝1.
54
(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直y＝kx＋2，??
线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立得?x2y2整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可
??5＋4＝1，8－10k220kyp4－5k2
得xp＝－，代入y＝kx＋2得yp＝，进而直线OP的斜率＝.在y＝kx＋2
xp－10k4＋5k24＋5k22k
中，令y＝0，得xM＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得
k24－5k2?k?24230－＝－1，化简得k2＝，从而k＝±·. 55－10k?2?
230230
所以，直线PB的斜率为或－.
55
x2y26
11．(2018·北京卷)已知椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为22.斜率为k
ab3
的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为71
－，?共线，求k. D.若C、D和点Q??44?
解：(1)由题意得2c＝22，∴c＝2 c6
又∵e＝＝，∴a＝3
a3
∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆标准方程为(2)设直线AB的方程为：y＝x＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)
y＝x＋m??
联立?x22，得：4x2＋6mx＋3m2－3＝0
??3＋y＝1又∵Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0， ∴m2＜4，
x22
＋y＝1 3
?x＋x＝－2?3m－3x·x＝?4
1
2
2
1
2
3m
|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2×?x1＋x2?2－4x
6×4－m2
1x2＝2
∴m2＝0时，|AB|max＝6
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)
2
x21＋3y1＝3① 2x22＋3y2＝3②
又∵P(－2,0)，故设k1＝kPA＝
y1
， x1＋2
∴直线PA的方程为：y＝k1(x＋2)
y＝k1?x＋2???2
联立?x22，消y得(1＋3k1)x2＋12k21x＋12k1－3＝0
??3＋y＝112k212k211
x1＋x3＝－，∴x3＝－22－x1 1＋3k11＋3k1y1又k1＝，代入①式得
x1＋2
－7x1－12y1
∴x3＝，∴y3＝ 4x1＋74x1＋7∴C?
?－7x1－12，y1?，同理可得D?－7x2－12，y2?
??4x＋7?4x1＋7?4x2＋7??4x1＋7?2
7171→→
易知：QC＝(x3＋，y3－)，QD＝(x4＋，y4－) 4444
7171
∵Q，C，D三点共线，∴(x3＋)(y4－)－(x4＋)(y3－)＝0
4444y1－y2
代入C，D坐标化简得：＝1，∴k＝1
x1－x2
2020新高考数学二轮教师用书：专题五第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 Word版含解析
