第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题
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圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现．
[真题体验]
1．(2019·全国Ⅱ卷)若拋物线( )
A．2 C．4
B．3 D．8
y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆
x2y2
＋＝1的一个焦点，则p＝3pp
x2y2
解析：D [由椭圆＋＝1，知半焦距c＝3p－p＝2p，
3ppp
∴2p＝，∴p＝8.]
2
x2y2
2．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，
ab以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.2 C．2
B.3 D.5 2
cc
x－?2＋y2＝，即x2＋y2－cx＝0， 解析：A [以OF为直径的圆为??2?4与圆
x2＋y2＝a2相减得直线
a2
PQ的方程为x＝，
ca4ab＝， c2c
|PQ|
由勾股定理得：＝2∴|PQ|＝
2ab
＝c， c
a2－
∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4， 化简得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝2.]
x2y2
3．(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左
ab顶点，点P在过A且斜率为心率为( )
3
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离6
2A. 31C. 3
解析：D [如图直线AP的方程为y＝
1B. 21D. 4
3
(x＋a)， ① 6
直线PF2的方程为y＝3(x－c)，② a＋6c3
①与②联立解得：x＝，y＝(a＋c)，
55∴P?
a＋6c3?，?a＋c?，
5?5?
∴|PF2|＝
?a＋6c－c?2＋3?a＋c?2 ?5?25
22
＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c， 55c1∴a＝4c，∴e＝＝.]
a4
4．(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
?y2＝4x?解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由?
??y＝k?x－1?
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)， B(x2，y2)．
2k2＋4
则x1＋x2＝2，x1·x2＝1.
k∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解
y1－1y2－1
·＝－1. x1＋1x2＋1
化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2. 答案：2
[主干整合]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．圆锥曲线的标准方程
x2y2y2x2
(1)椭圆：2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或2＋2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
ababx2y2y2x2
(2)双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或2－2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
abab(3)拋物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 3．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为
c
e＝＝ ace＝＝ a
b21－2. ab21＋2. a
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
x2y2b
①双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)．
abay2x2a
②双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
abb(3)拋物线的焦点坐标与准线方程
p?p
，0，准线方程x＝－. ①拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F??2?2pp0，?，准线方程y＝－. ②拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点F??2?24．弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝
(2)过拋物线焦点的弦长 拋物线
y2＝2px(p＞0)过焦点
p2
F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，
41＋k2|x1－x2|＝
1＋k2?x1＋x2?2－4x1x2.
弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
x2y2
[例1] (1)(2018·天津卷)已知双曲线2－2＝1，(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂
ab
直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点．设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
x2y2
A.－＝1 412x2y2
C.－＝1 39
x2y2
B.－＝1 124x2y2
D.－＝1 93
[解析] C [设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c＞0)，则xA＝xB＝c， c2y2b2由2－2＝1可得：y＝±， ababb
c，?，B?c，－?， 不妨设：A?a??a??双曲线的一条渐近线方程为：bx－ay＝0，
bc－b2|bc＋b2|bc＋b2
据此可得：d1＝22＝，d2＝2＝，
cca＋ba＋b22bc
则d1＋d2＝＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，
cc
双曲线的离心率：e＝＝
a
b21＋2＝ a
9
1＋2＝2，
a
|bc－b2|
2
2
据此可得：a2＝3，则双曲线的方程为
x2y2
－＝1.] 39
(2)(2020·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是拋物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则拋物线的准线方程为____________．
222??3x－y＝3a，[解析] 由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合．联立?2消去
?y＝8ax，?
y得3x2－8ax－3a2＝0，解得xP＝3a(负舍)．由点P在双曲线上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因为|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因为点P在拋物线上，所以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解得a＝1，所以拋物线的准线方程为x＝－2a＝－2.
[答案] x＝－2
圆锥曲线定义及标准方程的关注点
1．圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．
2．当焦点位置无法确定时，拋物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
3．注意数形结合，提倡画出合理草图．
(1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
x22
A.＋y＝1 2x2y2
C.＋＝1 43
解析：B [由已知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a.
又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|， 1
∴|BF2|＝a，|AF2|＝|AF1|＝a，
23|BF1|＝a.
2又|F1F2|＝2. a2＋4－a2
2·2a
129
a＋4－a244＝－ 12×2·a
2
x2y2
B.＋＝1 32x2y2
D.＋＝1 54
∴
解得a2＝3，∴b2＝2.
x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.选B.]
32
(2)(2020·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的拋物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是拋物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 C．－1
B．2 D．8
解析：A [因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)， 所以可得以C(1,0)为焦点的拋物线方程为y2＝4x，
2??y＝4x，由?解得A(1,2)． ??x－1?2＋y2＝4，?
拋物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)， 准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.]
热点二 圆锥曲线的几何性质
2020新高考数学二轮教师用书：专题五第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 Word版含解析
