∴∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∠PQA＝90°＝∠ACB，且AP＝AP， ∴△CAP≌△QAP（AAS） ∴AC＝AQ＝12a，CP＝PQ， ∴QD＝AD﹣AQ＝a． ∵PD2＝PQ2+QD2， ∴（5﹣PQ）2＝PQ2+a2， ∴PQ＝∴CP＝
a， a，
∵HE⊥AC，∠CAB＝45°， ∴∠HEA＝∠CAB＝45°， ∴AH＝HE， ∵AE2＝AH2+HE2＝（3∴AH＝HE＝3，
∵∠ACF＝∠CAG，∠CAP＝∠DAP＝∠CAG， ∴∠ACF＝∠CAP， ∴tan∠CAP＝tan∠ACF＝
，
）2，
∴
∴CH＝15，
∴AC＝3+15＝18＝12a， ∴a＝， ∴CD＝
，BD＝
，AD＝
．
∵∠ACD＝∠AGB＝90°，∠CAD＝∠DBG， ∴△ACD∽△BGD， ∴
，
∴，
∴BG＝，DG＝
+
， ＝
，
∴AG＝AD+DG＝∵AG＝∴∴CG＝
＝
CG+BG，
＝．
CG，
18．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；
（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．
（1）证明：连接OE．如图1所示： ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴BF是圆O的直径， ∴OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC⊥OE， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°， ∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB， ∴EH＝EC，∠BHE＝90°， 在Rt△BHE和Rt△BCE中，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）， ∴BH＝BC＝9， ∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径， ∴BE＝
＝
＝3
， ，
∵∠EBH＝∠FBE， ∴△BEH∽△BFE， ∴
＝
，即
＝
，
解得：BF＝10，
∴⊙O的半径长＝BF＝5； （3）解：连接OE，如图2所示： 由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3， ∵EH⊥AB， ∴OH＝
＝
＝4， ＝， ＝，
在Rt△OHE中，cos∠EOA＝在Rt△EOA中，cos∠EOA＝∴OA＝OE＝∴AE＝
， ＝
＝，
∴AC＝AE+EC＝+3＝
＝
，
，∠ACB＝90°，
，∵AB＝OB+OA＝5+
∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，
∴CP＝＝＝．
19．△ABC内接于⊙O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC⊥BD． （1）如图1，求证：∠OBC＝∠ABD；
（2）如图2，作CG⊥AB于G，交BD于F，若∠BAC＝∠ABO+30°，求证：BO＝BF； （3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：
MA＝5：3，且S△BMN＝16
，求线段AE的长．
解：（1）延长BO 交⊙O 于点K，连接CK，则BK 为⊙O 的直径，
∴∠BCK＝90°， ∴∠OBC+∠K＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE+∠A＝90°， ∵
，
∴∠A＝∠K ∴∠OBC＝∠ABD；
（2）作OH⊥BC 于H，则BC＝2BH，
∵∠K+∠KBC＝90°， ∴∠BAC+∠KBC＝90°， ∴∠ABO+30°+∠KBC＝90°， ∴∠ABC＝60° ∴BC＝2BG，
∴BG＝BH，且∠ABD＝∠OBC，∠BGF＝∠BHO＝90°， ∴△BFG≌△BOH（AAS） ∴BO＝BF；
（3）作OH⊥BC 于H，
2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练（解析版）
