∴PB⊥OB，且点M是OP的中点， ∴BM＝PO，
∵△OPQ是等腰直角三角形，且点M是OP的中点， ∴QM＝OP， ∴QM＝BM， ∴∠MQB＝∠MBQ； 拓展延伸】
AO+AQ＝AP，
理由如下：过点Q作QH⊥AQ交AP于点H，
∴∠AQH＝∠PQO＝90°， ∴∠AQO＝∠PQH，
∵∠QPO+∠QOP＝90°，∠AOP+∠APO＝90°， ∴∠APQ+∠APO＝∠APO+∠AOQ，
∴∠APQ＝∠AOP，且∠AQO＝∠PQH，QP＝OQ， ∴△AOQ≌△HPQ（ASA） ∴QH＝AQ，AO＝PH， ∴AH＝
AQ，
∵AP＝PH+AH， ∴AO+
AQ＝AP．
10．如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．
（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；
（2）求证：PC2＝PA?PB；
（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．
证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵AO＝CO， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC是∠DAP的平分线；
（2）如右图，连接BC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠OBC＝90°， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCB+∠BCP＝90°， ∴∠CAB＝∠BCP， 又∵∠CPB＝∠APC， ∴△CPB∽△APC， ∴
＝
，
∴PC2＝PA?PB；
（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2， ∵PE＝2DO， ∴4DO2＝4r2+PC2， ∴4（DO2﹣r2）＝PC2， ∴4DC2＝PC2， ∴PC＝2CD， ∵AD∥OC， ∴△PCO∽△PDA， ∴
＝
， ，
∴＝∴r＝2．
11．如图，AB是直经，D是延长线于点F．
的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系． （3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC， ∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AC于E， ∴∠E＝90°， ∴∠ACB＝∠E， ∴BC∥DE， ∵点D是∴
的中点， ，
∴∠COD＝∠BOD， 又∵OC＝OB， ∴OD垂直平分BC， ∵BC∥DE， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线；
（2）AD2＝AE?AB，理由如下： 如图2，连接BD， 由（1）知，∴∠EAD＝∠DAB， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝∠E＝90°， ∴△AED∽△ADB， ∴
＝
，
，
即AD2＝AE?AB；
（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°， ∴四边形CHDE为矩形， ∴ED＝CH＝BH＝3， ∴OH＝
＝
＝4，
＝
＝8，
∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝
∴AE＝AC+CE＝9， ∵BF是⊙O的切线， ∴∠FBA＝∠E＝90°， 又∵∠EAD＝∠DAB， ∴△EAD∽△BAF， ∴即
＝＝
， ， ．
∴BF＝
12．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？
2024年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练（解析版）
