而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°， ∴∠OCE+∠PCE＝90°， 即∠PCO＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC为⊙O的切线； （2）连结BD，如图所示， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝
∵DC平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45° ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴AD＝
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的圆与AB相交于点E，与CD交于点F． （1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若EF∥BC，且BC＝6，求图中阴影部分的面积．
＝8（cm）；
AB＝5（cm）．
（1）证明：过D作DG⊥BC于G， ∵DA⊥AC，∠ACD＝∠BCD， ∴DG＝DA， ∴BC是⊙D的切线；
（2）解：连接EF， ∵EF∥BC，由（1）DG⊥BC， ∴DG⊥EF， ∴
＝
．
∴∠EDG＝∠CDG．
由（1）∠ACD＝∠BCD，∠ACD+∠ADC＝∠BCD+∠CDG＝90°， ∴∠CDG＝∠ADC，
∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°． ∵EF∥BC，
∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB， 在⊙D中，DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF． ∴∠B＝∠DCB， ∴DB＝DC． ∵DG⊥BC， ∴CG＝BC＝3． 在Rt△DCG中，DG＝CG/∴S阴影＝×3×
＝
． ）2＝
﹣
．
﹣π（
8．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点
D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径， ∴∠DEA＝90°． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°．
∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB， 即∠CEA＝∠CAB，
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；
（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC， ∵AF是直径， ∴∠ACF＝90°， ∴∠CFA+∠FAC＝90°， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠FAB＝90°， ∴∠CAB+∠FAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CFA，
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
9．【问题背景】（1）如图1，⊙O与∠P的两边分别切与A，B两点．求证：PA＝PB． 【深入探究】（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，连接PO，以PO为一条边向上作等边三角形POQ，连接AO，AQ．求证：AO＝AQ．
（3）若在（1）的条件下，以OP为斜边向上作等腰直角三角形POQ，取OP中点M，连接
MB，MQ，BQ，求证：∠MQB＝∠MBQ．
【拓展延伸】在（3）的条件下，连接AO，AQ，探索AO，AQ，AP之间的数量关系．
解：【问题背景】 （1）连接OA，OB，OP，
∵PA、PB是切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， 在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴PA＝PB； 【深入探究】
（2）∵Rt△PAO≌Rt△PBO， ∴∠APO＝∠BPO， ∵∠APB＝60°， ∴∠APO＝∠BPO＝30°， ∵△POQ是等边三角形， ∴∠OPQ＝60°，PO＝PQ，
∴∠APQ＝∠APO＝30°，且PO＝PQ， ∴PA垂直平分OQ， ∴AO＝AQ；
（3）如图3，连接OB，
∵PB是⊙O是切线，
2024年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练（解析版）
