∴∠GBD＝∠ABC， ∴∠GBA＝∠CBD，
又∵∠GAB＝∠DCB＝90°， ∴△BCD∽△BAG， ∴
＝
＝tan30°＝
，
又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3， ∴BG＝2BE＝6， ∴BD＝6×
（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下， 由（2）知∴
＝
＝，，
＝
，
＝2
；
∵B，E为定点，BE为定值， ∴BD为定值，D为定点， ∵∠BCD＝90°，
∴点C在以BD为直径的⊙M上运动， ∴当点C在线段OM上时，OC最小，
此时在Rt△OBM中，＝＝，
∴∠OMB＝60°， ∴MC＝MB，
∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°， ∴∠BDC+∠ACD＝180°， ∴AC∥BD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG． （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）若⊙O的径为4． ①当OD＝3，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
（1）证明：连接AF， ∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°， ∴∠BGF+∠AFG＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°， 又∵OF为半径， ∴FG是⊙O的切线；
（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF， ∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO， ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠ACF， ∴AO∥CF， ∴
＝
，
∵半径是4，OD＝3， ∴DF＝1，BD＝7， ∴
＝
＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC， ∴
＝
，
∴AD?CD＝BD?DF， ∴AD?CD＝7，即AD2＝7， ∴AD＝
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°， ∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°， 当∠ODC＝90°时， ∵∠ACO＝∠ACF， ∴OD＝DF＝2，BD＝6， ∴AD＝CD， ∴AD?CD＝AD2＝12， ∴AD＝2
，AC＝4
，
；
（取正值）；
∴S△ABC＝×4
×6＝12
当∠COD＝90°时， ∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形， ∴BC＝4
，
延长AO交BC于点M， 则AM⊥BC， ∴MO＝2∴AM＝4+2
， ，
×（4+2
或8
）＝8+8．
+8，
∴S△ABC＝×4
∴△ABC的面积为12
6．如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PC＝PE． （l）求证：PC是⊙O的切线； （2）求AC、AD的长．
（1）证明：连结OC，如图所示： ∵PC＝PE， ∴∠PCE＝∠PEC，
∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，
2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练（解析版）
