3.2.3 二次函数模型
【教学目标】
1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系； 2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；
3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．
【教学难点】
函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法． 【教学方法】
这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 二次函数的一般形式： y＝a x2＋b x＋c (a≠0)， 定义域是 R． 导 练习1 下列函数中，哪些是二次函 数？若是，分别指出二次项系数，一次入 项系数，常数项． 教师引导学生回忆二次函数的一般式，并让学生举例． 教师在引导学生 复习旧知识的同时，让学生口答． 学生自主探索新知识， 激发学生获取新知的12(1) y＝2 x＋3 x－1； (2) y＝x＋； x 动力． 22(3) y＝3(x－1)＋1； (4) y＝(x＋3) 2－x； 22(5) s＝3－2 t； (6) v＝4 π r． 引例 在同一坐标系内作出下列函数的图象． y＝x2， y＝2 x2， y＝3 x2， y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3 x2． 师：如果 b＝c＝0，则一般2式变为 y＝a x (a≠0)，下面我们先来研究这类函数的性质．出示引例． 学生在初中已经重点学过二次函数的作图，所以教师只讲2述 y＝x的图象画法，其余5个函数的图象，学生分组合作解答，教师巡回观察．最后通过屏幕演示，集体对照． 通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象2来分析函数 y＝a x 中系数 a 对图象的影响，提高学生读图能力． 学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识． 新 课
新 课 生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各2y?x组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论． 2y??2x y??x2 y??3x2 观察图象并完成填空 函数 y＝a x2 的图象，当a＞0时开 口 ．当a＜0时开口 ，对称轴师生共同解决例1，教师详是 ，顶点坐标是 ． 细板书解题过程，带领学生仔细函数是 函数（用奇或偶填空）．| a 分析各个性质的由来． | 越大，开口越 ． 例1 研讨二次函数 12 f (x)＝ x＋4 x＋6的性质与图象． 2 解 (1) 因为 1 f (x)＝ x2＋4 x＋6 2 12 ＝(x＋8 x＋12) 2 12 ＝(x＋4)－2． 2 由于对任意实数 x， 12 都有 (x＋4)≥0， 2 所以 f (x)≥－2， 并且，当 x＝－4时取等号， 即 f(－4)＝－2． 教师引导学生观察图象可得出性质： 得出：函数的对称轴是直线 x＝－4时，取得最小值－2．记为 x＝－4． ymin＝－2． 师:这个结论是否是正确的点(－4，－2)是这个图象的顶点． 呢？ (2) 当y＝0时， 教师通过问题1、2，引导12学生证明上述结论正确． x＋4 x＋6＝0， 2 2x＋8 x＋12＝0， 解得 x1＝－6，x2＝－2． 故该函数图象与 x 轴交于两点 y?3x2y?2x2 通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力． 分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫． 对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四
新 课 (－6，0)，(－2，0)． (3) 列表作图． y x -6 -4 -2 O -2 以 x＝－4为中间值，取 x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象． 观察上表或图形回答： 1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？ 答：相同． 2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于 x＝－4对称吗？ 分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？ 答：f (－4－h)＝f (－4＋h)． 得出性质： 直线 x＝－4为该函数的对称轴． 函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数． 小结例2中的函数性质： 1．开口． 2．最值． 3．顶点． 4．对称轴． 5．单调性． 练习2(课本例3) 用配方法求函数 f (x)＝3 x＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？ 2解：f (x)＝3 x＋2 x＋1 22＝3(x＋ x)＋1 32112＝3(x＋ x＋－)＋1 399122＝3(x＋)＋ 3312所以 y＝f(－)＝，函数图象的对称332个过程，感受数学的 严密性、科学性． 小结函数性质， 将例1的分析条理化． 学生模仿练习．老师巡回观 察点拨、解答学生疑难． 通过练习2，进一 步练习配方法以及巩 固二次函数的性质． 例2是二次函数中a＜0的 类型，学生可类比例1，自己得 出图象与性质． 例1与例2分别是二次函数以表格的形式整中 a＞0，a＜0的两种类型，教理二次函数性质，使师引导学生填表，自己总结出二知识结构一目了然． 次函数的性质表格，对比记忆．
新 课 本例题有两种方 法，方法一：在图象例3板书详细的解题过程． 中用区间分析法，方1减函数，在[－，＋∞)上是增函数． 3法二；求一元二次方通过此例题，教师总结一元2例2 研讨二次函数f (x)＝－x－4x程或一元二次不等式二次方程、一元二次不等式与二＋3 的解集的方法．教师次函数之间的关系： 的性质与图象． 在讲解时可根据学生2 求二次方程ax＋bx＋c＝0的实际情况进行讲解 和拓展． 的解，就是求二次函数：y＝a x2小结 二次函数的性质．(表格见方法一：在图象＋bx＋c(a≠0)的根； 课件) 中用区间分析法是比2 求不等式 a x＋b x＋c＜0较简单的一种方法，2的解集，就是求使二次函数：y通过此法可进一步培例3 已知二次函数 y＝x－x－6说养学生的读图，识图2＝ax＋bx＋c(a≠0 )的函数值出：(1) x 取哪些值时，y＝0； 能力，培养学生数形小于0的自变量的取值范围； 结合的思想． (2) x 取哪些值时，y＞0， 2 求不等式 a x＋b x＋c＞0x 取哪些值时，y＜0． 解 (1)求使 y＝0的 x 的值，即的解集，就是求使二次函数 2 求二次方程 x－x－6＝0的所有根． 2y＝a x＋b x＋c(a≠0)的函数 方程的判别式 2 ＝(－1)－4×1×(－6)＝25＞值大于0的自变量的取值范围． 0， 解得：x1＝－2，x2＝3． (2)画出简图，函数的开口向上． 从图象上可以看出，它与x轴相交于两学生模仿练习．老师巡回观巩固用图象法解点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分察点拨、解答学生疑难． 一元二次不等式的步成三段． 骤． 所以当x(－2，3)时，y＜0． 当x(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y ＞0． 利用表格总结，使所学知识系统化． y 11轴是直线 x＝－，在(－∞，－]上是33-2 ｏ 3 x -6 练习3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0． (1) y＝x＋7 x－8； 2(2) y＝－x＋2 x＋8． 2
总结二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系(表格见课件)． 小 结 1．二次函数的性质． 学生阅读课本畅谈本节课2．一元二次方程、一元二次不等的收获，老师引导梳理，总结本式与二次函数的关系． 节课的知识点． 3．数形结合研究二次函数的方法． 教材 P 84，练习 A组第 1、2题； 教材 P 85，练习 B 组1、2题（选做）． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 巩固拓展．
二次函数模型
