2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1．已知函数f(x)?(x?a)e有最小值，则函数g(x)?x?2x?a的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值 【答案】C
【解析】注意f(x)?eg(x)，答案C．
2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）
A．a?1,b?2,c?Z
0B．A?150,asinA?csinC2asinC?bsinB
2x2/xC．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?60 D．a?03,b?1,A?600
【答案】AD．
3．已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线
B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点 D．f(x),g(x)有且只有两个交点
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【答案】BD
【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．
4．过抛物线y?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（ ）
A．以线段AB为直径的圆与直线x??B．|AB|的最小值为4 C．|AB|的最小值为2
D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 【答案】AB
23一定相离 211(|AF|?|BF|)?|AB|，于是以线段AB为直径223112的圆与直线x??1一定相切，进而与直线x??一定相离；对于选项B，C，设A(4a,4a)，则B(2,?)，
24aa1于是|AB|?4a2??2，最小值为4．也可将|AB|转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；24a1对于选项D，显然BD中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此命题错误．
2【解析】对于选项A，点M到准线x??1的距离为
x2y25．已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正确的有
ab（ ） A．a?B．a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个
C．?PF1F2的周长小于4a
a2D．?PF1F2的面积小于等于
2精选
【答案】ABCD．
【解析】对于选项A，B，椭圆中使得?F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，?F1PF2的周
长
为
2a?2c?4a；选项
2D，
?F1PF2的面积为
11?|PF1|?|PF2|?12|PF|?|PF|sin?FPF??a． ??121222?22?6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．
7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（ ） A．O,M,B,P四点共圆 C．A,O,P,N四点共圆
B．A,M,B,N四点共圆 D．以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项A，?OBM??OAM??OPM即得；对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有?MAN为直角，不符合题意；对于选项C，?MBN??MOP??MAN即得．答案：AC． 8．sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC是?ABC为锐角三角形的（ ） A．充分非必要条件 C．充分必要条件
B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
精选
【答案】B
【解析】必要性：由于sinB?sinC?sinB?sin(?2?B)?sinB?cosB?1，
类似地，有sinC?sinA?1,sinB?sinA?1，于是sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC． 不充分性：当A??2,B?C??4时，不等式成立，但?ABC不是锐角三角形．
9．已知x,y,z为正整数，且x?y?z，那么方程A．8
B．10
1111???的解的组数为（ ） xyz2
D．12
C．11
【答案】B 【解析】由于
11113????，故3?x?6． 2xyzx若x?3，则(y?6)(z?6)?36，可得(y,z)?(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)； 若x?4，则(y?4)(z?4)?16，可得(y,z)?(5,20),(6,12),(8,8)； 若x?5，则
311220???,y?,y?5,6，进而解得(x,y,z)?(5,5,10)； 10yzy3若x?6，则(y?3)(z?3)?9，可得(y,z)?(6,6))． 答案：B．
10．集合A?{a1,a2,?,an}，任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
11．已知??1,??61,??121，则下列各式中成立的有（ ） A．tan?tan??tan?tan??tan?tan??3
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B．tan?tan??tan?tan??tan?tan???3
C．
tan??tan??tan??3
tan?tan?tan?tan??tan??tan???3
tan?tan?tan?D．
【答案】BD
【解析】令x?tan?,y?tan?,z?tan?，则
y?xz?yx?z???3，所以
1?xy1?yz1?zxy?z?3(1?xy),z?y?3(1?yz),x?z?3(1?zx)，以上三式相加，即有xy?yz?zx??3．
类似地，有
111111111??3(?1),??3(?1),??3(?1)，以上三式相加，即有xyxyyzyzzxzx111x?y?z?????3．答案BD． xyyzzxxyz12．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则4a?1?（ ）
A．(11,12) B．(12,13) C．(13,14) D．(14,15)
4b?1?4c?1的最大值也最小值乘积属于区间
【答案】B
【解析】设函数f(x)?4x?1，则其导函数f/(x)?21，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x?4x?13处的切线y?22112113(x?)?，以及函数f(x)的图象过点(?,0)和(,7)的割线73342y?x?41412211211x?，如图，于是可得，左侧等号当x??或x??4x?1?(x?)?47337777311时取得； 右侧等号当x?时取得．因此原式的最大值为21，当a?b?c?时取得；最小值为233精选
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版-带解析)-历年自主招生考试数学试题大全
