第九篇 解析几何
第1讲 直线的方程
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．
π
解析 直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝3. π
答案 3
3
2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－4.则直线l的方程为________． 3
解析 由点斜式，得y－5＝－4(x＋2)， 即3x＋4y－14＝0. 答案 3x＋4y－14＝0
3．(2014·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 5－3a－3解析 ∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
6－45－4由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案 4
4．(2014·泰州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
kk
解析 令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝－3. kk
则有4－3＝2，所以k＝－24. 答案 －24
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m＝
________.
3
解析 由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－2，在x轴上截距为1
＝1，即2m－3m－2＝0，解得m＝2或－2.
2m2＋m－3
2
4m－1
1
答案 2或－2
6．(2014·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足________．
①ab>0，bc<0；②ab>0，bc>0；③ab<0，bc>0；④ab<0，bc<0.
cc
解析 由题意，令x＝0，y＝－b>0；令y＝0，x＝－a>0.即bc<0，ac<0，从而ab＞0. 答案 ①
7．(2014·淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴1
的截距为－3，此时k＝2，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪?1??2，＋∞?. ??
?1?答案 (－∞，－1)∪?2，＋∞?
??
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
xy
解析 设所求直线的方程为a＋b＝1， 22
∵A(－2,2)在直线上，∴－a＋b＝1.
①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， 1∴2|a|·|b|＝1.②
???a－b＝1，?a－b＝－1，由①②可得(1)?或(2)?
???ab＝2?ab＝－2.???a＝2，?a＝－1，
由(1)解得?或?方程组(2)无解．
???b＝1?b＝－2，xyxy
故所求的直线方程为2＋1＝1或＋＝1，
－1－2即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 二、解答题
9．(2014·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得
a－2
＝a－2，即a＋1＝1， a＋1
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
?－?a＋1?＞0，?－?a＋1?＝0，∴?或?∴a≤－1. ?a－2≤0?a－2≤0.综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：
1??
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A?2－k，0?，B(0,1－2k)，△AOB
??1?1?1??1??1
的面积S＝2(1－2k)?2－k?＝2?4＋?－4k?＋?－k??≥2(4＋4)＝4.当且仅当－4k
??????111
＝－k，即k＝－2时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－2(x－2)，即x＋2y－4＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为________． 解析 |AB|＝?cos α＋1?2＋sin2α＝
1
2＋2cos α＝3，所以cos α＝2，sin α
333
＝±2，所以kAB＝±3，即直线AB的方程为y＝±3(x＋1)，所以直线AB3333
的方程为y＝3x＋3或y＝－3x－3. 3333
答案 y＝3x＋3或y＝－3x－3
2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
3
解析 如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，又A(3,0)，∴kPA＝3，
π?ππ?
则直线PA的倾斜角为6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是?6，2?.
??
?ππ?
答案 ?6，2?
??
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
x
解析 直线方程可化为2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从1?21?b－?而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1， 2???2
2
11
故当b＝2时，ab取得最大值2. 1
答案 2 二、解答题
4．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB1
分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝2x上时，求直线AB的方程．
创新设计高考数学苏教文一轮题组训练：直线的方程
