罗德里格矩阵总体最小二乘法的应用研究

罗德里格矩阵总体最小二乘法的应用研究

杨福芹1，2，戴华阳1，高彩云1，刘 杰1，邢会敏1，冯海宽3

【摘 要】摘要:针对最小二乘法用于相似模型试验坐标转换时不能综合考虑系数矩阵误差的问题，提出采用总体最小二乘法用于相似模型试验的坐标转换，该方法以罗德里格矩阵为基础，同时顾及坐标转换方程中系数矩阵和观测向量中的误差，通过一定准则删除数据中的粗差或异常点，从而获得高精度的参数估计值。用近景摄影测量方法获取相似材料模型试验数据对该方法进行试验，结果验证了该方法的有效性和实用性。

【期刊名称】河南理工大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(034)005 【总页数】5

【关键词】关键词:罗德里格矩阵;相似模型;总体最小二乘平差(TLS);近景摄影测量

0 引言

相似材料模型试验是矿山开采室内模拟研究的主要方法之一，其传统观测方法通常是物理测量或机械测量，存在观测装置或传感器安装繁琐、工作量大、采样点有限等缺点［1－2］。

为了克服传统方法不足，近年来许多学者将近景摄影测量技术引入到相似材料模型试验中，取得了较好效果。然而将近景摄影测量用于相似材料模型获取数据，需要进行一系列坐标转换。文献［3］利用高精度无棱镜全站仪测量特点，基于布尔莎七参数模型，构建了一种新的相似材料模拟试验观测方法;文献［4］结合罗德里格矩阵公式及其形式，推导了基于罗德里格矩阵的坐标转换模型，

以及基于该模型的最小二乘迭代法坐标转换的严密公式。文献［5］根据反对称矩阵和罗德里格矩阵的性质和公式，给出了罗德里格矩阵的三维坐标转换模型。上述研究工作进行坐标转换时大多以最小二乘为基础，仅考虑观测向量的误差，而在实践中经常会遇到系数矩阵含有误差，这时需要采用总体最小二乘求解。 近年来，关于总体最小二乘方法和罗德里格矩阵坐标变换的研究较多，而对基于罗德里格矩阵的总体最小二乘方法及应用于相似材料模型试验的文献却较少。本文在对罗德里格矩阵和TLS平差方法进行理论研究基础上，根据罗德里格旋转矩阵特点，尝试采用总体最小二乘(TLS)进行罗德里格矩阵坐标转换，这种方法合理考虑系数矩阵和观测向量误差，而且不需要进行三角函数计算，大大减少了计算工作量。结合三维光学摄影测量系统(XJTUDP)获得相似材料模型试验数据，利用本文提出的罗德里格矩阵求初值的方法进行异常点探测和进行异常点剔除，采用基于罗德里格矩阵的总体最小二乘用于相似材料模型坐标转换，并对利用LS、TLS和三维光学摄影测量系统(XJTUDP)解算结果进行了比较分析。

1 总体最小二乘坐标转换平差模型

摄影测量几何处理的任务是根据像片上像点位置确定相应地面点空间位置。设地面空间直角坐标系为O－XYZ，像空间坐标系为S－xyz。根据坐标转换的物理过程，可得到

式中:R为3×3旋转矩阵，T=(x0，y0，z0)T为平移向量，此处假设两个坐标处理为同等长度基准，不考虑尺度因子。 1．1 罗德里格矩阵

解决摄影测量空间坐标变换关键是确定旋转矩阵R和平移向量T。R可由罗德

里格矩阵3个独立参数a，b，c表示。引入反对称矩阵S式中:a，b，c是3个独立的参数。R看作由实反对称矩阵S组成的旋转矩阵构成罗德里格矩阵，为

式中: a，b，c是3 个独立的参数。R 看作由实反对称矩阵S 组成的旋转矩阵构成罗德里格矩阵，为 1．2 初值求解

由式(1)可知，每一对公共点可列出3个方程，用第j对公共点的方程减去相应的第i对公共点的方程，可以消去平移参数T，得 式(3)代入式(4)可得

式(2)代入式(5)，将方程组展开，把a，b，c提取出来，写成向量的形式。整理可得

式中:Zij=Zj－Zi;Xij=Xj－Xi;Yij=Yj－Yi;xij=xj－xi;yij=yj－yi;zij=zj－zi。 式(6)左边系数矩阵显然为奇异阵，只有两个独立方程，用2组公共点无法直接求出(a、b、c)。同样，把点对k和点对i组成式(6)相同的方程。将两方程组联合可得

解方程组可以求出a，b，c三个参数，根据式(2)、式(3)可求出旋转矩阵初值R，带入式(1)可得平移参数初值T。 1．3 坐标转换平差模型

当观测个数大于参数个数时，以往做法是采用最小二乘法求得参数的最或然值［4］。这种方法只考虑随机误差存在于观测向量L中。总体最小二乘法不仅考虑观测向量L中的误差，而且考虑系数矩阵A中的误差，最终使得基础坐标系和变形坐标系下的坐标测量值都能进行改正。式(7)的TLS平差值方程的矩阵形

式为［7－8］

式中:A为系数矩阵;L为观测向量;E A、e分别为系数矩阵A与向量L所对应的随机误差矩阵。即

近景摄影测量认为是等精度观测，其权P为I，因此，总体最小二乘平差准则为［7］

式中:vec(·)为矩阵的拉直变换。令e y=vec(E A)，则上式可变为 按求条件极值的拉格朗日乘数法，λ为联系数向量，构造目标函数为

将?分别对e，e y，λ，x求一阶导数，并令导函数为零。根据文献［8－9］可得总体最小二乘的迭代解，可同时求出观测向量误差和系数矩阵误差，进一步求出拟合参数的单位权中误差。

2 异常点剔除

在非量测相机对相似材料模型进行摄影时，由于摄影时人员走动、控制点自重、开采碰撞、拍摄角度等，必然使获得的控制点存在偏差，甚至出现异常。因此，为了提高坐标转换参数的精度，在采用总体最小二乘法解算前，还需要除去控制点的异常点，以获得高精度的坐标转换参数估计值。相似材料模型是分析地表和岩层的下沉和水平移动趋势，在粗差探测的过程中，不考虑Z轴变化。粗差探测方法如下。

(1)根据式(7)求出反对称矩阵a，b，c的初始值。 (2)根据式(3)和式(1)求出旋转矩阵R和平移参数T。

(3)根据求出的旋转矩阵R和平移参数T，把变形状态下的控制点根据式(1)转换到基础状态坐标系下，与基础状态坐标系下的坐标值做差，其差值分别为ΔX，ΔY，ΔZ，即

根据中误差公式求出转换后的中误差。

(4)判断控制点的残差vi，若vi＞2σ，则此控制点被认为是异常点，将其删除;反之，则认为此控制点不存在粗差。

(5)利用保留下来的控制点通过总体最小二乘的迭代解法重新计算参数a，b，c，即可获得最佳的旋转矩阵和平移参数。

3 实验和算例分析

为了验证本文算法的可靠性和精确性，本文用近景摄影测量的方法进行相似材料模型实验。本次实验采用数码相机为尼康D90，其主要参数:相机分辨率为4 288像素×2 848像素，传感器尺寸23．6 mm×15．8 mm，焦距24 mm。控制点和变形点都粘贴在模型架上，如图1所示。把基础状态下的坐标和变形状态下的坐标这些观测数据作为样本，并在43号点中加入一定的粗差(见表1)。根据本文提出的罗德里格矩阵求初值的粗差探测方法进行粗差的探测与剔除。由罗德里格矩阵坐标转换的方法求出转换中误差为2．099 3 mm，各控制点残差分布见图2。

从图2可以看出，43(1)号控制点残差大于2倍转换中误差，说明43号点是异常点，剔除，其他点远小于2倍中误差，继续进行总体最小二乘平差计算。本文利用三维光学摄影测量系统、LS和TLS方法对剔除粗差后的控制点进行坐标转换参数的计算，求出旋转矩阵、平移参数及单位权方差，见表2。

表2是基于罗德里格矩阵原理，分别采用LS，TLS方法求解坐标转换参数。由于TLS平差方法同时顾及了系数矩阵和观测向量的误差，因此建立的平差模型更符合实际情况，其精度优于LS方法，同时也优于三维光学摄影测量系统解算的精度(其解算精度为0．5 mm)。