第二章 控制系统的状态空间表达式
一、主要内容
1. 状态空间描述的几个重要概念 2. 状态空间表达式的一般形式
1) 非线性系统的状态空间描述 2) 线性时变系统的状态空间描述 3) 线性定常系统的状态空间描述 4) 离散系统的状态空间描述 3. 系统状态空间表达式的特点 4. 状态空间表达式的建立
1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式 2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述 3) 由系统传递函数化为状态空间描述 4) 由系统状态变量图列写状态空间描述 5) 由系统方块图列写状态空间描述 5. 状态向量的线性变换
1) 系统状态空间表达式的非唯一性 2) 系统特征值的不变性
3) 将状态方程化为型规范型（对角线型和约当型）
二、教学基本要求
1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。
2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。
3、熟练掌握线性变换方面的知识。理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。
三、重点内容概要
1. 状态空间描述的几个重要概念
状态变量 是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。给定了这个变量组在初始时刻t?t0的值和时刻t?t0系统的输入函数，那么系统在时刻t?t0的行为就可以完全确定。这样一组变量就称为状态变量。
状态矢量 以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。
状态空间 以状态变量x1(t),x2(t),?,xn(t)为坐标轴构成的n维空间称为状态空间，记作Rn。
状态方程 状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。 输出方程 系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。 状态空间表达式 状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型），称为系统的状态空间表达式。 2. 状态空间表达式的一般形式
(1) 非线性系统的状态空描述
?(t)?f(X(t),u(t),t)?X （2.1） ??y?g(X,u,t)其中，X?Rn为状态向量；u?Rp为输入向量；y?Rq为输出向量。向量函数
?(t)?f(X(t),u(t),t)和y?g(X,u,t)的全部或至少一组成元素为状态变量X和X控制u的非线性函数。
(2) 线性系统的状态空间描述 ① 线性时变系统的状态空间描述
?(t)?A(t)X(t)?B(t)u(t)?X ??y(t)?C(t)X(t)?D(t)u(t) （2.2）
其中，A(t)?Rn?n为系统矩阵；B(t)?Rn?p为控制矩阵；C(t)?Rq?n为输出矩阵；
D(t)?Rq?p为在直接传递矩阵。
② 线性定常系统的状态空间描述
?(t)?AX(t)?Bu(t)?X??y(t)?CX(t)?Du(t) （2.3）
其中各个系数矩阵微常数矩阵。
③ 离散时间系统的状态空间描述
?X(k?1)?G(k)X(k)?H(k)u(k) ??y(k)?C(k)X(k)?D(k)u(k) （2.4）
其中，k?0,1,2,?表示离散的时刻。
3. 系统状态空间表达式的特点
(1) 状态空间描述考虑输入—状态—输出这一过程，是对系统动态行为的完全
描述。
(2) 对于给定的系统，状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的，即个数
等于系统包含的独立储能元件的个数。
(3) 选择不同的状态变量，系统有不同的状态空间描述。系统任意两个状态向
量之间的关系是线性非奇异的关系。即若X是系统的一个状态向量，只要
?矩阵P是非奇异的，则X?P?1X也是系统一个状态向量。
4. 状态空间表达式的建立
(1) 由物理系统的机理直接建立状态空间表达式
① 根据系统内部的运动规律，直接推导其输入/输出关系的建模方法称为机
理分析法。 ② 列写步骤
A. 确定输入变量和输出变量。
B. 将物理系统划分为若干子系统，根据物理定律列写各子系统的微分
方程。
C. 根据各子系统微分方程的阶次选择状态变量（通常选择独立储能元
件的输出物理量为状态变量，如电感电流，电容电压等），将各子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，即可得到系统的状态方程。
D. 按照输出量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即
可得到输出方程。
(2) 由系统高阶微分方程化为状态空间描述
设线性连续时不变单输入单输出系统的高阶微分方程为：
y(n)?a1y(n?1)???any?b0u(n)?b1u(n?1)???bnu （2.5）
将其化为状态空间描述的关键问题是选择系统适当的状态变量，确定相应的系数矩阵。分两种情况讨论：
第一种情况：方程（2.5）中不包含输入函数的导数
微分方程形式为：
y(n)?a1y(n?1)???any?bnu （2.6）
①、选择状态变量
?(0),?,y(n?1)(0)和t?0一个n阶系统，具有n个状态变量，因为当给定y(0),y?,?,y(n?1)为的输入u(t)时，系统在t?0时的运动状态就完全确定，所以选择y,y系统的一组状态变量令
?x1?y???x2?y （2.7） ????x?y(n?1)?n②、将高阶微分方程（2.5）化为状态空间表达式
?1??0?x????x0?2????????????n???an?x10??an?1?x1???x20?????????xn?01??an?2???0??x1??0??????0x0??2????u??????????????a1??xn??bn? （2.8）
y??10?当Ａ矩阵具有形如（2.8）式的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为１；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。 第二种情况：方程（2.5）中包含输入函数的导数
线性连续时不变系统输入—输出的时域模型一般形式：
y(n)(n?1)(n)(n?1)?a1y???any?b0u?b1u???bnu
①、选择状态变量
?x?y??u10????0u???1u?x2?y?x?????0u????1u???2uy3?? （2.9）
?x4??y????0?u????1u????2u???3u?????x(n?1)n?y??0u(n?1)??(n?2)1u????n?1u??x(n)n?1?y??u(n)??(n?1)01u????nu其中?i,i?0,?,n可由下式计算，即
???b?00 ???b?11?a1?0?? 2?b2?a1?1?a2?0??????n?bn?a1?n?1?a2?n?2???an?0②、系统状态空间表达式
系统状态方程：
?x?1??010?0??x?1???1?????x?2001?0??????x??2???2?X?????x?3???000?00??x??3???? ???????????3?u??????????x?n?????an?an?1?an?2??a1????x?n?????n??系统输出方程：
?x?1???x??2?y??10000??x??3?????0u ????x?n??(3) 由系统传递函数化为状态空间描述 控制系统的传递函数为：
W(s)?Y(s)b1sn?1???bn?1s?bnU(s)?sn?an?11s???a n?1s?a n分两种情况讨论：
第一种情况：控制系统传递函数的极点为两两相异
把式（2.13）化为部分分式形式：
2.10）
2.11）
2.12） 2.13）
（ （ （ （
第二章 控制系统的状态空间表达式
