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解析几何大量精选
1.在直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F1 Q ．
⑴求轨迹 C 的方程；
⑵当 AP AQ 0 时，求 k 与b 的关系，并证明直线 l 过定点．
2
【解析】 ⑴ x
3 , 0 ， F2
3 , 0 的距离之和是 4，点 M 的轨迹
是 C 与 x 轴的负半轴交于点 A ，不过点 A 的直线 l : y kx b 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和
2
1
．
y
4
y
⑵将 y kx b 代入曲线 C 的方程，
2 2 2
整理得
(1 4k )x 8kbx 4b 4 0 ，
P
因为直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P 和Q ，
A
O
x
Q
2 2 2 2
2 2
64k b 4(1 4k )(4b 4) 16(4k b 1) 0 ①
2
所以
设
P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ，则 且
8kb
1
2
4b
，
② 4
x x
x x
1 4k
2
1 2 2
1 4k
2
2
b
2
2
4k
，
2
y y
1
2
(kx b)(kx
1
2
b) k x x
1 2
kb( x
1
x ) b
2
1 4k
显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点 A 2 , 0 ，
所以 AP
x1 2 , y1 ， AQ
2)( x
2
1
x2 2 , y2 ． 2)
y y
1 2
2
由 AP AQ 0 ，得 ( x 0．
2
将② 、③ 代入上式，整理得 12k
16kb 5b 0 ．
6
所以 (2k b) (6k 5b) 0 ，即 b 2k 或
b k ．经检验，都符合条件 ①
5
当b 2k 时，直线 l 的方程为 y kx 2k ．显然，此时直线 l 经过定点 2 , 0 点． 即直线 l 经过点 A ，与题意不符．
6 6 6
当 k k x ． b k 时，直线 l 的方程为 y kx
5 5
5
6
显然，此时直线 l 经过定点 , 0 点，满足题意．
5
6
k ，且直线 l 经过定点 5
6 , 0 5
综上， k 与b 的关系是
b
2.已知椭圆 C x
2 2
y
2
:
1
(a b 0) 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的
2 1
2
a
圆与直线 x y
b
6 0 相切．
连结 PB 交椭圆 C 于
⑴ 求椭圆 C 的方程；
⑵ 设 P(4, 0) ， A ，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点， 另一点 E ，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ；
⑶ 在⑵的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M ， N 两点，求 OM ON 的取值范围．
***
***
2
【解析】 ⑴ x
2
y 3
1
4
．
⑵ 由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y k(x 4) ．
***
***
y k( x 4), 由 x2 y2 得
1.
4 3
2 2 2 2
(4k 3)x 32k x 64k 12 0 ．①
设点 B (x1 , y1 ) ， E(x2 , y2 ) ，则 A( x1 , y1 )．
y y
． 2 1 直线 AE 的方程为
y y (x x )
2
2
x
2
x
1
令 y 0 ，得 x x
2
y (x
2
2 x )
1 ． y
1
y
2
将 y1 k(x1 4) ， y2
2
k (x2
2x x
1 2 4) 代入整理，得 x
x
4(x
2
x ) 1 2 ．②
x 8
2
32k
由① 得
64k x x
，
1 2
2
12
代入② 整理，得 x 1 ．
1
x
1
x
2
2
4k
3 4k 3
所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1，0) ．
5 4,
⑶ 4 ．
３.设椭圆
2 2
x
2
y
2
的一个顶点与抛物线
1(a b 0)
2
C : x 4 3y 的焦点重合， F1 ，F2 分
C :
a
点．
b
1
e ，过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两
2
别是椭圆的左、右焦点，且离心率
⑴ 求椭圆 C 的方程；
⑵ 是否存在直线 l ，使得 OM ON 说明理由．
2
【解析】 ⑴ x
2
2 ．若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在，
y 3
1．
4
⑵ 由题意知，直线 l 与椭圆必有两个不同交点．
① 当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
② 设存在直线 l 为 y k (x 1)( k 0)，且 M (x1 ，y1 ) ， N( x2 ，y2 ) ．
2 2
x y
2 2 2 2 1
(3 4k )x 8k x 4k 12 0 ， 由 ，得
4 3 y k (x 1)
2 2
， 8k 4k 12 ，
x
1
x
2
2
x x
1 2
2
3 4k
OM ON
2
3 4k
2
x1x2
2
y1 y2 x1x2 k [ x1x2 (x1 x2) 1]
2
2
4k
(1 k )
12
2
8k
2
5k k
2
12
2
2
，
k
2
3 4k
所以 k
2 ，
故直线 l 的方程为 y
***
3 4k
2( x 1)或 y
3 4k
2( x 1) ．
***
本题直线 l 的方程也可设为 my 数据更简单．
x 1 ，此时 m 一定存在，不能讨论，且计算时
***
***
４.如图， 椭圆
2 2
x y
2
段长等于 C 的长半轴长．
C1 : 2
a
1 a b 0
3 2
， x 轴被曲线 C: y x b 截得的线 的离心率为 2
2
b
【解析】
***
1
⑴求 C1 ，C2 的方程； ⑵设 C 与 y 轴的交点为 M ，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A，B ，直线
2
MA ，MB分别与 C 相交与 D ，E ．
1
① 证明： MD⊥ME ；
② 记 △MAB ，△MDE 的面积分别是 S1 ，S2 ．问是否存在直线 l ，使得
S 17 1
32
?请 S
2
说明理由． ⑴ 2 x
2 1 2
1
4
y ，y x
．
y
⑵ ① 由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k ， 则直线 l 的方程为 y kx ．
A
由
y kx 得 2
1 0 E
2
1 x kx ，
O
D
y x
x
设
B A x
y B x1 x2
k ，x1 x2 1．
M
x y x 则是上述方程的两 ，，x ，，，
1
1
2 1 2 2
个实根，于是
又点 M 的坐标为 0， 1 ，
2
所以 k
y 1 y
1
k
MA
MB
kx 1 kx
1 k x x
k x
x
1
1 ，
1
2
1 2
1
2
1
2
x
x
x x
x x
1
2
1 2
1 2
故 MA
MB ，即 MD⊥ME ．
② 设直线 KM 的斜率为 k1 ，则直线的方程为 y k1x 1，
由 y k x x k 1 1 ，解得 x 0 或 1 ，则点 A的坐标为 2 2
k，k1 ．y x
1 y 1 2 1 1
y k1 1 又直线 MB的斜率为 1 k
，同理可得点 B 的坐标为
1 ， 1 ．
1
1 2
k
k
1
1
2 1
1 1 k
于是
1
1
．
2
1
S
| MA | |MB | 1 k |k | 1
|
| 1
1
1
2
2
2
k
k
2 |k |
1
1
1
由
y k x 1
得 2 2 1 1 4k x 8k x 0，
1
1
2
2
x 4y 4 0
（完整word版）高中数学解析几何大题精选(2)
