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线性代数笔记
第一章 行列式 ................................................................................................................................ 1 第二章 矩阵 .................................................................................................................................... 2 第三章 向量空间......................................................................................................................... 8 第四章 线性方程组..................................................................................................................... 11 第五章 特征值与特征向量 ......................................................................... 错误！未定义书签。
第一章 行列式
1.3.1 行列式的性质
给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为 性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
或
。
性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。 推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。 推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。 可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。 以二阶为例
推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，
注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……
.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2) 精品文档
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1.4 克莱姆法则
定理1.4.1 对于n阶行列式
定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:
定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1、矩阵的加法
设A=（aij）m×n ，B=（bij）m×n ，则 A+B=（aij+bij）m×n
矩阵的加法适合下列运算规则： （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C） （3）A+0=0+A=A 精品文档
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此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0
2、矩阵的数乘
设A=（aij）m×n，K为数，则 KA=（Kaij）m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则： （1）K（A+B）=KA+KB （2）（K+L）A=KA+LA （3）（KL）A=K（LA） （4）1*A=A
（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）
3、矩阵的乘法
设A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵）
矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC C（A+B）=CA+CB （3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。
由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的，即Ak=A*A…A共k个A相乘，从而有 （1）AkAl=Ak+l （2）（Ak）l=Akl （3）InA=AIn=A 4、矩阵的转置
将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A/ 注意A是m×n矩阵，则AT为n×m矩阵 矩阵的转置适合下列运算法则： （1）（AT）T=A （2）（A+B）T=AT+BT （3）（kA）T=kAT （4）（AB）T=BTAT
5、方阵的逆矩阵
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