【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可． （2）抽样比为
，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的
取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ再根据其对称性处理即可．
【解答】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10＝4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4． 所以P（X＝0）＝
＝
，
2
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
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所以X的分布列为：
X P 所以E（X）＝0×
0 +1×
1 +4×
2 ＝．
3 4 +2×+3×
（3）由（1）得μ＝64，
σ＝（30﹣64）×0.1+（50﹣64）×0.3+（70﹣64）×0.4+（90﹣64）×0.2＝324， 所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，18），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝
＝0.8186，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．
【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题． 21．（12分）已知函数（1）讨论函数
22
2
2
2
2
2
+
．
在（1，+∞）上的单调性；
（2）若a≥0，不等式xf（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
【分析】（1）x＞0，
在（1，+∞）上的单调性．
．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数
（2）推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数
．
若a≤﹣，∵x＞1，∴lnx＞0，∴g′（x）＜0， ∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
．∴x＞0，
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若a＞﹣，令g′（x）＝0，得x＝，
当1＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，
）．
∴g（x）的单调递减区间是（
2
，+∞），单调递增区间为（1，
（2）a≥0，不等式xf（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立， ∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0对x∈（0，+∞）恒成立， 设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a， 令h′（x）＝0，得x＝e当x∈（0，e
a﹣1
a﹣1
，
a﹣1
）时，h′（x）＜0，当x∈（e
a﹣1
，+∞）时，h′（x）＞0，
a﹣1
∴h（x）的最小值为h（e令t（a）＝a+e﹣2﹣e
a﹣1
）＝（a﹣1）e
a﹣1
+a+e﹣2﹣ae＝a+e﹣2﹣e
a﹣1
，
，则t′（a）＝1﹣e
a﹣1
，令t′（a）＝0，得a＝1，
当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增， 当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减， ∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）＝e﹣2﹣当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）＝a+e﹣2﹣e∴a的取值范围是[0，2]．
【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题． 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0． （1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
，
a﹣1
≥0＝t（2），
2
【分析】（1）由ρ﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x+y﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）+（y﹣3）＝1，此即为曲线C的直角坐标方程．
（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，
第23页（共25页）
2
2222
用三角函数的性质求得最大值．
【解答】解：（1）由ρ﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x+y﹣4x﹣6y+12＝0， 即（x﹣2）+（y﹣3）＝1，此即为曲线C的直角坐标方程． （2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π， 则|PM|＝3+sinα，
又直线ρcosθ＝﹣1的直角坐标方程为x＝﹣1， 所以|PN|＝2+cosα+1＝3+cosα， 所以|PM|+|PN|＝6+故当α＝
sin（α+
），
．
2
22
2
2
时，|PM|+|PN|取得最大值为6+
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． [选项4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．
（1）当k＝4时，求不等式f（x）＜0的解集； （2）若不等式
对x∈R恒成立，求k的取值范围．
【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）k＝4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；
（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式k≥
，
化为3﹣
求不等式的解集即可．
【解答】解：（1）k＝4时，函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2﹣x|＜4，
当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得﹣＜x＜﹣1， 当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＝3＜4恒成立，则﹣1≤x≤2， 当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得2＜x＜， 综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（﹣，）； （2）因为f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k＝3﹣k， 所以f（x）的最小值为3﹣k；
第24页（共25页）
又不等式所以3﹣k≥
，
对x∈R恒成立，
所以，解得﹣3≤k≤1，
所以k的取值范围是[﹣3，1]．
【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．
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2019年广东省高考数学二模试卷（理科）
