0
＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（3）＝2，得解 【解答】解：设m＝3， 因为t≤x≤t+1， 所以3≤m≤3
t
t+12
x
，
t
t+1
则g（m）＝m+m，3≤m≤3因为函数g（m）在[3，3所以（3解得：3
t+1t+1
t
t+1
，
]为增函数，
）+3
2t+1
＝12，
＝3，即t＝0，
0
即f（x）min＝g（3）＝2， 故答案为：2．
【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题． 16．（5分）已知直线x＝2a与双曲线C：
的一条渐近线交于点P，
双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且 ．
【考点】KC：双曲线的性质．
，则双曲线C的离心率为
【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．
【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为F（0），F（0），且1﹣c，2c，可得sin∠PF2F1＝
＝
，
，
的一条渐近线y＝x交于点P，
，
即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1＝由直线x＝2a与双曲线C：可得P（2a，2b）， 可得
2
＝，
2
2
2
2
即有4b＝15（4a﹣4ac+c）＝4（c﹣a）， 化为11c﹣60ac+64a＝0，
2
2
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由e＝可得11e﹣60e+64＝0， 解得e＝
或e＝4，
2
由2a﹣c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e＝4舍去． 故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列
的前n项和Tn．
依次成等比数列．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）运用等比数列的中项性质，令n＝1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，计算可得所求通项公式； （2）求得
＝
＝（
﹣
），再由数列的裂项相消求和，
化简计算可得所求和． 【解答】解：（1）可得（
）＝Sn＝（n+2）（a1﹣2）n，
2
依次成等比数列，
当n＝1时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1， 上式对n＝1也成立，
则数列{an}的通项公式为an＝2n+1； （2）
＝
＝（
﹣﹣
）， ）
可得前n项和Tn＝（﹣+﹣+…+＝（﹣
）＝
．
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【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E为AB中点． （1）证明；PE⊥CD；
（2）求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
【分析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．
（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C的余弦值． 【解答】证明：（1）连结DE，BD，
∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，E为AB的中点， ∴DE⊥AB，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB， 又DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE， ∴AB⊥PE，
∵AB∥CD，∴PE⊥CD． 解：（2）设AC，BD交点为O，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则P（﹣1，0，2＝（﹣1，0），
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），A（0，﹣），＝（
，0），E（，0），＝（1，
，0），C（0，
），＝（
，0），
，
，2
设平面APE的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（），
设平面PCE的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（3，1，2），
设二面角A﹣PE﹣C的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ＝﹣
＝﹣
＝﹣
．
∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．
（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；
（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．
2
【分析】（1）先将y＝kx+3代入x＝6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；
（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM＝∠OPN，得当k变化时，k1+k2＝0恒成立，进而可求出结果 【解答】解（1）证明：将y＝kx+3代入x＝6y，得x﹣6kx﹣18＝0．
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2
2
2
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣18， 从而d1d2＝|x1|?|x2|＝|x1x2|＝18为定值． （2）解：存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，． 从而k1+k2＝
+
＝
＝
．
当b＝﹣3时，有k1+k2＝0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．
20．（12分）2024年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．
（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
若T～N（μ，σ）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．
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2024年广东省高考数学二模试卷（理科）
