2019年广东省高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x＜4}，则A∩（?RB）＝（ ） A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1＜x≤2}
C．{x|2≤x＜6}
D．{x|2＜x＜6}
2
2．（5分）设i为虚数单位，则复数A．
B．
的共轭复数＝（ ） C．
D．
3．（5分）在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（ ） A．0.2
B．0.25
C．40
D．50
4．（5分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（ ） A．（1，8）
B．（﹣16，﹣2）
C．（1，﹣8）
D．（﹣16，2）
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为
，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为则椭圆C的方程为（ ） A．
B．
，面积为12π，
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C． D．
7．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且b＝2acosA，则A＝（ ） A．
B．
C．
D．
3
8．（5分）（ ） A．30 9．（5分）函数
的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x项的系数为
B．80 C．﹣50 D．130
的部分图象不可能为（ ）
A． B．
C．
3
x
D．
10．（5分）若函数f（x）＝x﹣ke在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（ ） A．[0，+∞）
B．
C．
D．
11．（5分）已知高为H的正三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角P﹣AB﹣C的正切值为4，则＝（ ） A．
B．
C．
D．
12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（f（x））＝m有两个不同
的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（ ） A．[2，3）
B．（2，3）
C．[2ln2，4）
D．（2ln2，4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
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13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
＝ ．
14．（5分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则
x
x
15．（5分）已知函数f（x）＝3+9（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为
16．（5分）已知直线x＝2a与双曲线C：
的一条渐近线交于点P，
双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且为 ．
，则双曲线C的离心率
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列
的前n项和Tn．
依次成等比数列．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E为AB中点． （1）证明；PE⊥CD；
（2）求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．
（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；
（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；
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2
若不存在，请说明理由．
20．（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．
（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
若T～N（μ，σ）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．
2
2
2
21．（12分）已知函数（1）讨论函数
2
．
在（1，+∞）上的单调性；
（2）若a≥0，不等式xf（x）+a≥2﹣e对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围． 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]
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22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0． （1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值． [选项4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．
（1）当k＝4时，求不等式f（x）＜0的解集； （2）若不等式
对x∈R恒成立，求k的取值范围．
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2019年广东省高考数学二模试卷（理科）
