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四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、极限（每题7分，共28分）
11x22?xnlimne?nln(1?) lime(1?)1. 2. n???x???nx113.
n???lim(n!) 4. limn2x?0cosx?e
x2[x?ln(1?x)]x2?2
二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当x?0时，f(x)?1?x2；当x?0时，f(x)?xe?x.求
?31f(x?2)dx
2.设
f'(2x)?x2?x，f(1)?0，求f(x).
3.计算曲面积分I???(x?y?z)dS，其中曲面S?{(x,y,z)?R3:x2?y2?z2?a2,z?0}
S4.计算曲线积分I?AmBxx(?(y)e?my)dx?(?'(y)e?m)dy，其中?(y)、?'(y)为平面R2上的连?续函数，AmB为连接点面积为定值P（PA(1,2)、B(3,4)的任意简单路径（方向从A到B），但它与直线AB围城的区域
?0）
，其中
222I?(xcos??ycos??zcos?)dS5.计算曲面积分??SS为圆锥面
x2?y2?z2，
0?z?h，cos?，cos?，cos?该曲面的外发向量n的方向余弦.
6.设函数z?z(x,y)具有二阶连续偏导数且满足方程
?2z?2z?2zq(1?q)2?(1?p?q?2pq)?p(1?p)2?0
?x?x?y?y?z?2w?z?0。 其中p?，q?。假设u?x?y，v?y?z，w?x?y?z之下，证明：
?y?u?v?x
三、（本题10分）设
.
n?xnf(x)dx?f(1) f(x)在[0,1]上具有连续导数，证明：lim0n??1精品文档
四、（本题10分）设
f(x)在(a,b)内二阶可微，证明：存在c?(a,b)，
使得
a?b(b?a)2f(a)?2f()?f(b)?f''(c)
24五、（本题10分）设
f(x)在(a,b)内具有连续导数，且f(a)?f(b)?0，
4maxf'(x)?证明：
a?x?b(b?a)2
六、（本题12分）设x 3(x?y?z?
七、（本题20分）设
?baf(x)dx
?0、y?0、z?0，证明：
1111)2?(x?)2?(y?)2?(z?)2
x?y?zxyzf(x)在???x???上有定义，在点x?0的某领域内有二阶连续导数，且
f(x)lim?a?R. x?0x?11n(?1)f()f()发散. 证明（1）若a?0，则级数?收敛，级数?nnn?1n?1? （2）若a
?0，则?n?1?1f()绝对收敛. n.
四川大学数学分析考研真题
