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四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、极限(每题7分,共28分)
11x22?xnlimne?nln(1?) lime(1?)1. 2. n???x???nx113.
n???lim(n!) 4. limn2x?0cosx?e
x2[x?ln(1?x)]x2?2
二、计算或证明下列各题(每题10分,共60分) 1.设当x?0时,f(x)?1?x2;当x?0时,f(x)?xe?x.求
?31f(x?2)dx
2.设
f'(2x)?x2?x,f(1)?0,求f(x).
3.计算曲面积分I???(x?y?z)dS,其中曲面S?{(x,y,z)?R3:x2?y2?z2?a2,z?0}
S4.计算曲线积分I?AmBxx(?(y)e?my)dx?(?'(y)e?m)dy,其中?(y)、?'(y)为平面R2上的连?续函数,AmB为连接点面积为定值P(PA(1,2)、B(3,4)的任意简单路径(方向从A到B),但它与直线AB围城的区域
?0)
,其中
222I?(xcos??ycos??zcos?)dS5.计算曲面积分??SS为圆锥面
x2?y2?z2,
0?z?h,cos?,cos?,cos?该曲面的外发向量n的方向余弦.
6.设函数z?z(x,y)具有二阶连续偏导数且满足方程
?2z?2z?2zq(1?q)2?(1?p?q?2pq)?p(1?p)2?0
?x?x?y?y?z?2w?z?0。 其中p?,q?。假设u?x?y,v?y?z,w?x?y?z之下,证明:
?y?u?v?x
三、(本题10分)设
.
n?xnf(x)dx?f(1) f(x)在[0,1]上具有连续导数,证明:lim0n??1精品文档
四、(本题10分)设
f(x)在(a,b)内二阶可微,证明:存在c?(a,b),
使得
a?b(b?a)2f(a)?2f()?f(b)?f''(c)
24五、(本题10分)设
f(x)在(a,b)内具有连续导数,且f(a)?f(b)?0,
4maxf'(x)?证明:
a?x?b(b?a)2
六、(本题12分)设x 3(x?y?z?
七、(本题20分)设
?baf(x)dx
?0、y?0、z?0,证明:
1111)2?(x?)2?(y?)2?(z?)2
x?y?zxyzf(x)在???x???上有定义,在点x?0的某领域内有二阶连续导数,且
f(x)lim?a?R. x?0x?11n(?1)f()f()发散. 证明(1)若a?0,则级数?收敛,级数?nnn?1n?1? (2)若a
?0,则?n?1?1f()绝对收敛. n.
四川大学数学分析考研真题
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