课时达标检测(七） 函数的奇偶性及周期性
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2018·肇庆模拟)在函数y＝xcos x，y＝e＋x，y＝lgx－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是________．
解析：y＝xcos x是奇函数，y＝lgx－2和y＝xsin x是偶函数，y＝e＋x是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2.
答案：2
2
x22
x2
?1?xx2．(2017·北京高考改编)已知函数f(x)＝3－??，则________．
?3?
①f(x)在R上是增函数；②f(x)在R上是减函数； ③f(x)是偶函数；④f(x)是奇函数．
?1?xx解析：因为f(x)＝3－??，且定义域为R，
?3?
?1?－x?1?xx?1?x－xx所以f(－x)＝3－??＝??－3＝－3－??＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
?3??3??3??1?x?1?xxx又y＝3在R上是增函数，y＝??在R上是减函数，所以f(x)＝3－??在R上是增函
?3??3?
数．
答案：①④
3．奇函数f(x)的周期为4，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x，则f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．
解析：函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
答案：－1
4．(2018·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝2)＝________.
2＋f解析：由题意可得g(2)＝2＋fx2
2
fx.若g(2)＝3，则g(－
f＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝
2＋f－
－1，所以g(－2)＝f－
答案：－1
2－1＝＝－1. －1
?21??x?5．(2018·海门中学月考)已知函数f(x)＝log1?x＋?－??，则使得f(x＋1)＜f(2xe??e??
e
－1)成立的x的范围是________．
解析：由题意得，函数f(x)定义域是R， ∵f(－x)＝log1?
?－x?e2
1?－x??21??x?＋?－??＝log1?x＋?－??＝f(x)，∴函数f(x)是偶?e??e?e??e??
e函数．∵偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x＋1)＜f(2x－1)得|x＋1|＞|2x－1|，解得0＜x＜2.即x的范围是(0,2)．
答案：(0,2)
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．设f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0,2]上，f(x)＝
?ax＋b，－2≤x＜0，?
???ax－1，0＜x≤2，
则f(2 018)＝________.
解析：设0＜x≤2，则－2≤－x＜0，f(－x)＝－ax＋b.因为f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，所以－ax＋b＝f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1，所以b＝1.而f(－2)＝f(－2＋11
4)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝，所以f(2 018)＝f(2)＝2×－1＝0.
22
答案：0
2．(2017·淮安中学模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为________．
解析：设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.
答案：2
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f ?23π?＝________.
?6???
解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f ?
?5π?＝0，∴f ?－π＋π?＝f ?－π?＋
??6??6??6?????
?π??π?1?23π?＝f ?4π－π?＝f ?－π?＝1.
sin?－?＝0，∴f ?－?＝，∴f ????6?26??6??6?2?6?????
1
答案： 2
4．(2017·全国卷Ⅰ改编)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)
＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3. 答案：[1,3]
5．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝1?1??1?－f(x)；当x＞时，f ?x＋?＝f ?x－?，则f(6)＝________. 2?2??2?
1?1??1?解析：由题意知当x＞时，f ?x＋?＝f ?x－?，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1
2?2??2?时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x－1，∴f(－1)＝－2， ∴f(6)＝2.
答案：2
6．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(－2)＝4，则f(2 018)＝________.
解析：由题可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 018)＝f(168×12＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－4.
答案：－4
7．(2018·扬州江都中学模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f ?
3
3
?2 018?＋lg 14＝________. ??5?
2 018?8?2?2?????－解析：由函数f(x)是周期为2的奇函数得f ??＝f ?5?＝f ?5?＝－f ?5?，又当?5???????
x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，所以f ?
5
14＝lg＋lg 14＝lg 10＝1.
7
答案：1
?2 018?＝－f ?2?＝－lg7＝lg5，故f ?2 018?＋lg
??5??5?57?5?????
8．函数f(x)＝e＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝e＋x ①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x，
x－xx
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
