高中数学易错、易混、易忘题分类汇编
【易错点42】向量与解析几何的交汇
例42、（03年新课程高考）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。
解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为 ?y?ax 和 y?a??2?ax.消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程
a(y?)2y(y?a)??2ax.整理得 x2?1.……① 因为a?1a()282222（i）当a??0,所以得：
22时，方程
①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0?a?2时，方程①表示椭圆，焦点
2E(11a11a（iii）当a?2时，方程①也表示椭圆，?a2,)和F(??a2,)为合乎题意的两个定点；2222222焦点E(0,1111(a?a2?))和F(0,(a?a2?))为合乎题意的两个定点.
2222【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。
【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA上任意一点，且OM?OB与a?(3,?1)共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆
??OA??OB (?,??R)，证明?2??2为定值。
答案：（1）e?622（2）???=1 3MN，PM·PN,NM·NP（2）（02年新课程高考天津卷） 已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MP·
成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（xo,的夹角，求tan?；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，
yo），记?为PM与PN3为半径的右半圆②tan?=|y0|
（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则
OA?OB等于（ ）A.
33 B.－ C.3 D.－3答案：B 44【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。
x2y2??1上动点P到定点M?m,0?,其中0?m?2的距离PM例43、已知椭圆C：42的最小值
为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件
OA?OB?AB（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。
【思维分析】此题解题关键是由条件再结合韦达定理解答。
OA?OB?AB知OA?OB?0从而将条件转化点的坐标运算
?x2y2x2?2??1得y?2?1??故解析：设p?x,y?，由424??PM2??x?m?2?x2??x2?12?2?1???2?1????x?2m??2?m2由于0?m?2且
4??4?2?2?2?x?2故当0?2m?2时，PM的最小值为2?m2?1此时m?1，当2?2m?4时，
综上所知当m?1是满足题意x?2取得最小值为2?4m?m2?2?1解得m?1,3不合题意舍去。此时M的坐标为（1，0）。 （2）由题意知条件
OA?OB?AB等价于OA?OB?0，当l的斜率不存在时，l与C的交点为
?6???1,?2??，此时OA?OB?0，设l的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程整理得???1?2k?x22?4k2x?2k2?4?0，由于点M在椭圆内部故??0恒成立，由OA?OB?0知
2224k2x1x2?y1y2?0即?1?k?x1x2?k?1?x2??k?0，据韦达定理得x1?x2?1?2k2，
2k2?42222222x1x2?k??4不合代入上式得得1?k2k?4?k?4k?k1?2k?0??????21?2k题意。综上知这样的直线不存在。
【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点F2为圆心，过另一焦点F1的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,
P?2,1?为此平面上一定点，且PF?PF12?1.（1）求椭圆的方程（2）若直线y?kx?1?k?0?与椭圆交于如图两点A、B，令
（1）f?k??AB?F1F2?k?0?。求函数f?k?的值域答案：
x2y2??1（2）?0,8? 42[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系. 例44、函数
y?x?e1?cosx 的导数为 。
[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
yx??yu??ux?。
y??e1?cosx?x?e1?cosx???e1?cosx?xe1?cosx?1?cosx???e1?cosx?
解析：
xe1?cosxsinx??1?xsinx?e1?cosx
【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。 [练习44]（2003年江苏，21）已知a（1） 设
0，n为正整数。设y??x?a?fn?1??n?1?n，证明
y??n?x?a?n?1；
fn?x??xn??x?a?n，对任意n?a，证明
n?k?n?1?fn??n?
解析：证明：（1）
?x?a?n?knk??Cn??a?k?0nnxk,
?y???kCk?1nkn??a?xk?1k?1??nCn?1??a?k?1n?kxk?1?n?x?a?n?1
（2）对函数
fn?x??xn??x?a?n求导数：
n?1fn??nxn?1?n?x?a?，
n?1?fn??n??n?nn?1??n?a??.当x?a??0时，fn??x?0
?当n?a时，fn?x??xn??x?a?n是关于x的增函数因此，当n?a时，。
?n?1???n?1?a?nnnn??n?a?nnn?fn?1??n?1???n?1???n?1???n?1?a????nn??n?a??n?1???n??nn?n?n?a??n?1???n?1????n?1?fn??n?即对任意n?a，fn?1??n?1?【易错点45】求曲线的切线方程。 例45、（2005高考福建卷）已知函数
?n?1?fn??n?.
f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0，2），且在点M（－
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