【解析】 设整数n除掉约数1和n外，最小约数为a，可得最大约数为15a，那么
n?a?15a?15a2?3?5?a2．则3、5、a都为n的约数．因为a是n的除掉约数1外的最小约数，
那么a?3．当a?2时，n?15?22?60；当a?3时，n?15?32?135．所以满足条件的整数n有
60和135．
【答案】n有60和135
模块三、公约数与最大公约数综合
【例 11】 马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲
数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 乙数是473与407的公约数.473与407的最大公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，
所以乙数是11，又4所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：7343?11?，407?37?11，47?11?517.
【答案】甲、乙两数的乘积应为：47?11?517
【例 12】 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约
数最大可能是___________．
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空
540?22?33?5，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依【解析】
次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．
【答案】108
【例 13】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件
“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为1111?11?101，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．
【答案】101
【例 14】 10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：
Ma1,Ma2,...,Ma10，其中(a1,a2,...,a10)?1
因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13
【答案】13
100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ ）。 【巩固】
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第8题，10分
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 6 of 8 那么根据题意有：
M(a1?a2?...?a10)?1001?7?11?13
2006=2×17×59，现在要求最大公约数最大，则让整个一百个数的和除以约数后的商尽可能的小，【解析】
且还应该为2006的一个约数，100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个约数的为2×59=118。所以，最大公约数的最大可能值为17。
【答案】17
【例 15】 三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 ． 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，11题 【解析】 假设这三个数分别为a，b，c，且a?b?c，则a?b?c?126，要求的是?a,b???b,c???a,c?的最
大值．
由于?a,b?是a和b的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道?a,b?也是b?a和a的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以?a,b??a，?a,b???a,b?a??b?a．
同理可得，?b,c??b，?b,c??c?b；?a,c??a，?a,c??c?a． 由?a,b??a，?a,b??b?a得到7?a,b??2a?5?b?a??5b?3a； 由?b,c??b，?b,c??c?b得到7?b,c??3b?4?c?b??4c?b； 由?a,c??a，?a,c??c?a得到7?a,c??7a；
三式相加可得7?a,b??7?b,c??7?a,c??5b?3a?4c?b?7a?4?a?b?c?，
44?a?b?c???126?72． 77也就是说?a,b???b,c???a,c?的最大值为72． 故?a,b???b,c???a,c??要使等号成立，必须使五个不等式?a,b??a，?a,b??b?a，?b,c??b，?b,c??c?b，?a,c??a中的等号都成立，即?a,b??a，?a,b??b?a，?b,c??b，?b,c??c?b，?a,c??a，得到b?2a，c?4a，
即a:b:c?1:2:4时等号成立．在本题中就是a，b，c分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．
小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到a:b:c?1:2:3时取到最大值，这是错误的．
【答案】72
【例 16】 用19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数． 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 1?2??9?45，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数
只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．
【答案】9
【例 17】 少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合
做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有 个小朋友。
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 设有如果有?1,2,3,4??12个人，12个人做12个纸娃，6个泥娃，4个布娃，3个电动娃，共25个，做100要4个12人，即48人. 【答案】48人
【例 18】 一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m>n）。(1)设
x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 7 of 8
锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，14题， 10分
① 【解析】
同样，② 由题设，所以，
，
，
，
，
，
即13＋n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，.所以， 甲追上乙的位置(3分)：③会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离(3分)。 即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，13。所以， 13+n=，n=－13=156，m=12。 求出正整m，n的另一方法：使
设m＝Ka，n＝Kb，(a，b)=1，代入上式，(b一a)和a，b都互质，一定整除K。记d＝
.
是正整数，b＞a则有：
.
，
.
由上式和b>a，b=13，a=1，d=1。所以，K=12，m和n有唯一解，m=13，n=156。 符：m=13，n=156。
【答案】（1） ，同样，
（2） m=13，n=156
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 8 of 8
小学奥数 5-4-1 约数与倍数（一）.教师版
