5-4-1.约数与倍数（一）
教学目标
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为△☆?△☆?...?△☆的结构，
而且表达形式唯一”
知识点拨
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；
21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；
32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2315；600?315?1285；315?285?130；285?30?915；30?15?20；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的
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最大公约数b；
b即为所求． a4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；
21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36； 32a?b③[a,b]?．
(a,b)2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
b先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；即
a35[3,5]15为所求．例如：[,]??
412(4,12)4?14??1,4??4 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：?,??232,3????4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
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①A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为 (1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
例题精讲
模块一、求最大公约数
【例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：
能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长
方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，(135,105)?15，长方形纸块的面积为135?105?14175 (平方厘米)，正方形纸块的面积为15?15?225 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块14175?225?63 (张)．
【答案】边长15，裁成63块
【巩固】 一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少
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块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间
长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．450?30?15，330?30?11，共需15?11?165 (块).
【答案】边长30，需要165块
【例 2】 将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是
（ ）个。
（A）78 （B）7 （C）5 （D）6
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第3题 【解析】 本题不是求1833与423的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法，
求商，因为1833?423=4141，所以先切成423?423的共有4个 剩下长方形141?423的423?141=3，所以应该还可以切成3个，所以一共有4?3=7个，选择B
【答案】B
【例 3】 如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三
点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个.
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第7题 【解析】 175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按
7＋1＝8盏灯，BC段应按5＋1＝6盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装8＋6－1＝13（盏）
【答案】13盏
【例 4】 把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少
个小朋友？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，
补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．
【答案】9人
【例 5】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物
中，三样水果各多少？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)?42, 即可以分42份，每份中有
苹果8 个，桔子6个，梨5个．
【答案】42份，每份中有苹果8 个、桔子6个、梨5个
【巩固】 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用
这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为(320,240,200)?40，320?40?8，240?40?6，200?40?5，所以最多可分40份，每份中有
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8个苹果6个桔子，5个鸭梨.
【答案】可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.
模块二、约数
【例 6】 2004的约数中，比100大且比200小的约数是 。 【考点】约数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，5分 【解析】 2004=3×4×167，所以结果为167 【答案】167
【例 7】 过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃，
小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜可以换__________只胡萝卜。
【考点】约数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第13题 【解析】 方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔?180?120??2=30（只），但是本题需要去换，即若干次换完后要多30个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而30里面只
有15这个约数是十几，所以需要换15次，，每次换后要多30?15=2（只），所以1棵白菜换了2?1=3只胡萝卜
方法二：设1棵白菜换x只胡萝卜，灰兔用a棵白菜换胡萝卜，则a??10,20?，
180?ax?a?120?a?ax?a?x?1??30?2?15，∴a?15，x?1?2，∴x?3，
即1棵白菜换了3只胡萝卜
【答案】3只
【例 8】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________. 【考点】约数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第7题
因为111是奇数，而奇数＝奇数＋偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个【解析】
数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数1的，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，a＋2a＝111，求得a＝37，2a＝74，即所求数为274。
【答案】74
【例 9】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？ 【考点】约数 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两
个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
【答案】98
【例 10】 如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数
n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？
【考点】约数 【难度】3星 【题型】解答
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小学奥数 5-4-1 约数与倍数（一）.教师版
