高中数学一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法的应用

不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种: (1)

f(x)＞0?f(x)·g(x)＞0; g(x)f(x)＜0?f(x)·g(x)＜0; g(x)f(x)≥0?f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0; g(x)f(x)≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. g(x)(2)

(3)

(4)

【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：

s?112x?x. 20240在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h） 推进新课

【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益. ［知识拓展］

【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0. 思路一：利用前节的方法求解.

思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号， ∴原不等式的解集是下面两个不等式组??x?1＞0,?x?1＜0与?的解集的并集，即

?x?4＜0?x?4＞0??x?1＞0??x?1＜0??xUx ???????∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式：

x?4＜0x?4＞0?????解：∵(x-1)(x+4)＜0???x?1＞0?x?1＜0或??x∈?或-4＜x＜1?-4＜x＜1，

?x?4＜0?x?4＞0∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.

思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.

解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.

②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：

（-∞，-4） （-4，1） （1，+∞） x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4) + - + ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}. 点评：此法叫区间法，解题步骤是：

①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……

②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.

练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}. 教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0. 解：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为-2，1，3； ③列表如下：

（-∞，-2） （-2，1） （1，3） （3，+∞） x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}. 思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.

由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.

这种方法叫数轴标根法.

练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）. 教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0； ②求得相应方程的根为-1，0，2，3；

③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}. ［合作探究］ 【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0. 解：①检查各因式中x的符号均正；

②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.

说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根.

∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.

【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0； ②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如右图：

④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.

点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.

由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如

x2?3x?2x?3?0等都是分式不等式. ＜0，2x?2x?3x?7由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，

不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式. 【例5】 解不等式：

x?3＜0. x?7解法一：化为两个不等式组来解. ∵

?x?3＞0?x?3＜0x?3＜0??0或?∴原不等式的解集?x∈?或-7＜x＜3-7＜x＜3，x?7?x?7＜0?x?7＞0