思考题3 (2019·河北五一名校联考)
在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．
题型三 空间角的综合问题
(2019·唐山五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面
ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
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(2)若二面角P－AC－E的余弦值为3，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 思考题4 (2019·江南十校素质检测)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC＝FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD＝45°.
(1)求证：CD⊥BF；
(2)若AB＝2EF＝2，BC＝2，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
专题四 综合问题
题型一 空间的距离
(1)(2019·江西九江期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥
底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F为PA的中点，且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为( )
(2)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．
思考题1 (1)(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为
正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )
2.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且
∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．
(2)(2019·湖南长沙一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．
题型二探究性问题
(2019·湖南重点校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥
平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD,且AD＝CD＝22,BC＝42，PA＝2.
(1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大
小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
思考题2 (2019·西安八校联考)已知几何体ABCC1B1N的直观图如图所示，CB⊥底面ABB1N，且ABB1N为直角梯形，侧面BB1C1C为矩形，AN＝AB＝BC＝4，BB1＝8，∠NAB＝∠ABB1＝90°.
(1)连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
(2)求二面角C－NB1－C1的余弦值．
题型三 翻折问题
(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD中，
π
∠DAB＝2，AD＝AB，△BCD为等边三角形．现将△ABD沿BD翻折得到四面体P－BCD，点E，F，G，H分别为PB，PD，CD，CB的中点．
(1)求证：四边形EFGH为矩形；
(2)当平面PBD⊥平面CBD时，求直线BG与平面PBC所成角的正弦值．
思考题3 如图，在直角梯形ABCP中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝3，AP＝6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P－CD－A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
(1)求证：PA∥平面EFG；
(2)若M为线段CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置
高考题呈现
1．(2014·全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
3
(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝4，求A到平面PBC的距离．
2．(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
AM
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD若存在，求AP的值；若不存在，说明理由．
3.(2018·浙江)如图，已知多面体ABC－A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
4.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
5．(2018·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
6．(2016·课标全国Ⅰ，理)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值．
7.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．
8．(2018·课标全国Ⅱ，理)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
9．(2018·北京，理)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B－CD－C1的余弦值； (3)证明：直线FG与平面BCD相交．
10．(2017·北京，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点； (2)求二面角B－PD－A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
立体几何专题复习(自己精心整理)
