专题一 证明平行垂直问题
题型一 证明平行关系
(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是
C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.
(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.
题型二 证明垂直关系(微专题)
微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中
点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证：DF⊥AE.
微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.
(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.
微专题3：证明面面垂直 (5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
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(6)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD，求证：平面PQC⊥平面DCQ.
思考题2 (1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD.
(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
①证明：AP⊥BC；
②若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.
题型三 探究性问题
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正
方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，确定G点的位置；若不存在，试说明理由．
思考题3 (2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，PE＝2ED.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
专题二 求解异面直线所成角和线面角问题
题型一 异面直线所成的角
(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别
是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为
思考题1 (2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．
题型二 定义法求线面角
(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且
△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为( )
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是( )
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A．[3，1] B．[3，1] C．[3，3] D．[3，1] 思考题2 (1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为________．
(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
题型三 向量法求线面角
(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面
ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．
(2)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则
AE＝________．
思考题3 (1)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( )
(1)(2019·太原模拟一)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD
是边长为2的正方形，PA⊥BD.
①求证：PB＝PD；
②若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．
(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．
①求证：BD⊥A1D；
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②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为5，求AA1的长． 思考题4 (2019·石家庄质检二)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为∠CBB1＝60°的菱形，AB＝AC1.
(1)证明：平面AB1C⊥平面BB1C1C；
(2)若AB⊥B1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值．
专题三 求解二面角问题 题型一 定义法求二面角
(1)(2019·台州一模)在边长为a的等边三角形
ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C，若此1
时BC＝2a，则二面角B－AD－C的大小为________．
(2)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是
(3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ，则sinθ＝( )
思考题1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E－BC－F的余弦值为( )
(2)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________．
题型二 向量法求二面角
(1)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，
CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．
(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
思考题2 (1)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－22，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为3，则k＝________．
(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值是________．
(3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝22，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后|AC|＝6，则二面角A－MN－C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
(2019·惠州二次调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面
ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．
立体几何专题复习(自己精心整理)
