专题36 一次函数问题
一、一次函数 1．一次函数的定义
一般地，形如y?kx?b（k，b是常数，且k?0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。 2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。 3．一次函数的性质
（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小； （3）当b>0时，直线交y轴于正半轴； （4）当b<0时，直线交y轴于负半轴。 二、正比例函数 1．正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。 3．正比例函数的性质
（1）当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，?直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小． 三、一次函数和正比例函数的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0
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时，向上平移；当b<0时，向下平移） 四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【例题1】（2024贵州黔西南）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
【对点练习】（2024广西桂林）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(?4,0)，D(0,3)，B(?2,?1)，C(3,0)，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为( )
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A．y?116x? 105B．y?21x? 33C．y?x?1 D．y?53x? 42【例题2】（2024?杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
【对点练习】（2024年陕西省）对于正比例函数y??2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（ ）．
A．?2 B．2 C．?11 D．
33【例题3】（2024?上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．
【对点练习】（2024?贵州安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价
x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
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【例题4】（2024?北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）． （1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【对点练习】（2024?上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
一、选择题
1．（2024?甘孜州）函数y=??+3中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣3
B．x＜3
C．x≠﹣3
D．x≠3
1
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2．（2024?内江）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A．y＝﹣2x﹣5
B．y＝﹣2x﹣3
C．y＝﹣2x+1
D．y＝﹣2x+3
3．（2024?凉山州）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ） A．m＞?
21
B．m＜3 C．?＜m＜3
2
1
D．?＜m≤3
2
1
4.（2024?菏泽）函数y=A．x≠5
√???2的自变量???5
x的取值范围是（ ）
C．x≥2
D．x≥2且x≠5
B．x＞2且x≠5
5．（2024?安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C．
定不在（ ）
D．6.（2024?江苏扬州）若点P在一次函数y??x?4的图像上，则点P一
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.（2024贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
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A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
8.（2024广西梧州）直线y?3x?1向下平移2个单位，所得直线的解析式是( ) A．y?3x?3
B．y?3x?2
C．y?3x?2
D．y?3x?1
9.（2024湖南邵阳）一次函数y1?k1x?b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2?k2x?b2．下列说法中错误的是( )
A．k1?k2 B．b1?b2
C．b1?b2 D．当x?5时，y1?y2
10.（2024?浙江杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A B C D
二、填空题
11．（2024?黑龙江）在函数y=
1√2???3中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2024?上海）已知f（x）=???1，那么f（3）的值是 ．
13．（2024?黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得
2
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直线的解析式为 ．
14．（2024?遵义）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 ．
15. （2024?绥化）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是
km/h．
16.（2024?江苏无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解 集为 ．
17.（2024?贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组
的解是 ．
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18.（2024贵州黔西南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为 ．
19. （2024山东东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y=3x和y=－3x的图象分别为直线l1，l2，过3l1上的点A1（1，
3）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂3线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2024的横坐标为____________．
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20.（2024江苏徐州）函数y＝x＋1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个.
yC3AOC4x
三、解答题
21．（2024?嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x y
1 6
2 2.9
3 2
4 1.5
5 1.2
6 1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 22.（2024浙江绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） y（斤）
1 0.75
2 1.00
4 1.50
7 2.75
11 3.25
12 3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
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23.（2024?武威）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值
y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
x y
… …
0 6
1 3
2 2
3
4
5 1
… …
1.5 1.2
（1）当x＝ 时，y＝1.5；
（2）根据表中数值描点（x，y），并画出函数图象；
（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．
24．（2024?贵阳）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
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专题36 一次函数问题（学生版）备战2024年中考数学专题复习精讲精练
