§13.4 空间几何体的表面积与体积
考纲解读
考点 1.表面积 2.体积
内容解读 简单几何体表面积求解
1.简单几何体体积求解
2.简单等积变换
要求 A A
五年高考统计
常考题型 预测热度
2013 2014 2015 2016 2017 8题 5分
分析解读 江苏高考对体积问题几乎是每年必考,主要考查简单几何体的体积求解,偶尔考查简单的体积变换,试题难度中等.
五年高考
考点一 表面积
1.(2017课标全国Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 . 答案 14π
2.(2017课标全国Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 . 答案 36π
3.(2016课标全国Ⅱ改编,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 答案 12π
4.(2015课标Ⅱ改编,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 . 答案 144π
5.(2014大纲全国改编,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 .
答案
6.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 答案 12
7.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为的表面积为 . 答案 24π
,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球 8题 5分
填空题 ★☆☆ 填空题
★★★
解答题
考点二 体积
1.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 . 答案
2.(2015山东改编,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 . 答案
1
3.(2015课标Ⅰ改编,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 斛.
答案 22
4.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且
=,则的值是 .
答案
5.(2014陕西改编,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 .
答案
6.(2013课标全国Ⅰ理改编,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 .
答案 cm
7.(2013江苏,8,5分)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
3
答案
教师用书专用(8—9)
8.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
2
解析 (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,
AB?平面ABD,BD?平面ABD, ∴CD⊥平面ABD.
(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD. ∵AB=BD=1, ∴S△ABD=.
∵M是AD的中点,
∴S△ABM=S△ABD=.
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,
因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=. 解法二:如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N, 由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD, 又平面ABD∩平面BCD=BD, 所以MN⊥平面BCD,且MN=AB=, 又CD⊥BD,BD=CD=1,
∴S△BCD=.
∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD =AB·S△BCD-MN·S△BCD=.
9.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=. (1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.
3
解析 (1)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC. (2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2·sin由PA⊥底面ABCD,得
VP-BCD=·S△BCD·PA=××2=2.
由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故VF-BCD=·S△BCD·PA=×××2=, 所以VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-=.
三年模拟
A组 2016—2024年模拟·基础题组
考点一 表面积
1.(苏教必2,一,3,变式)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 . 答案 2π
2.(2017江苏南京高淳质检,8)若正四棱锥的底面边长为2,体积为8,则其侧面积为 . 答案 4
3.(苏教必2,一,3,变式)如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB与AC都成45°角,求此斜三棱柱的表面积.
=.
解析 如图,过A'作A'D⊥平面ABC于D,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
连结A'E,A'F,AD. ∴A'E⊥AB,A'F⊥AC,
∵∠A'AE=∠A'AF,AA'=AA', ∴Rt△A'AE≌Rt△A'AF,
∴A'E=A'F,∴DE=DF,∴AD平分∠BAC, 又∵AB=AC,∴BC⊥AD, ∵BC⊥A'D,A'D∩AD=D,
4
∴BC⊥平面A'AD,∴BC⊥AA', 而AA'∥BB',∴BC⊥BB', ∴四边形BCC'B'是矩形,
∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°+ab=(+1)ab. 又∵斜三棱柱底面三角形的面积为a, ∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a.
考点二 体积
4.(2024江苏盐城时杨中学高三月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA1=4,若E,F分别是棱BB1和CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是 .
答案
5.(2024江苏天一中学高三调研考试)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为 .
答案
6.(2017江苏泰州中学模拟,6)在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是 .
答案
7.(2017江苏南京学情调研,10)已知圆柱M的底面半径为2,高为6;圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同,则圆锥N的高为 . 答案 6
8.(苏教必2,一,3,变式)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为 .
答案 a
9.(2016江苏南通一模,8)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱B1B的中点,则三棱锥B1-ADE的体积为 . 答案
B组 2016—2024年模拟·提升题组
(满分:10分 时间:10分钟)
填空题(每小题5分,共10分)
1.(2017江苏南京,盐城一模,10)将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为A,△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥A-EFG体积的最大值是 . 答案 4
2.(2017江苏常州奔牛中学高三调研,9)三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA=,则该三棱锥外接球的表面积为 . 答案 5π
C组 2016—2024年模拟·方法题组
方法1 空间几何体的表面积
1.已知某圆锥的底面半径r=3,沿圆锥的母线把侧面展开后得到一个圆心角为π的扇形,则该圆锥的表面积是 . 答案 36π
方法2 空间几何体的体积
3
22
5
(江苏专版)2024版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.4空间几何体的表面积与体积讲义
