www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第5章收入效应和替代效应1．口渴的Ed仅喝纯泉水，但是他可以购买0.75升或2升瓶装的矿泉水。由于水本身是同质的，所以他将以上两种瓶装矿泉水视为完全替代品。（1）假定Ed的效用仅取决于其消费的水量，而瓶子对他而言无任何效用，请将其效用函数表示为规格为0.75升（x）和2升（y）的瓶的数量的函数。（2）求出需求函数x?px,py,I?。（3）画出I和py不变时，x的需求曲线。（4）I和py的变化如何影响x的需求曲线？（5）在此情况下，x的补偿需求曲线形状是什么样的？解：（1）Ed的效用函数可以表示为：U?0.75x?2y。（2）由Ed的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为，预算约束线斜率为当当px33?时，即px?py时，x?I/px，y?0；py88px3I3?时，即px?py时，x?0，y?；py8py838px
，即：py
（3）x的需求曲线如图5-1所示。图5-1x的需求曲线1/20www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（4）收入I的提高将使x的需求曲线向右上方移动。商品y的价格降低将不会影响x的需求，直到py?8px8p时为止。当py?x时，商品x的需求减至0。33（5）x的收入补偿需求曲线表示成当前消费的一个单点?x,px?。假定x?0，则px的任何变化都会改变从该点处所得的效用。2．戴维每周有3美元可供自由支配。他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。面包则由一位热心的邻居免费提供。戴维偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。（1）戴维一周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？（3）在（2）中，果冻价格上涨后，戴维的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？（4）图示（1）到（3）的结论。（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？图示这种单一商品的需求曲线。（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。解：（1）由题可知，戴维的偏好是互补型的偏好。假设花生酱的消费量为x，果冻三明2y?。治的消费量为y，则戴维的效用函数可以表示为：U?min?x，因此，效用最大化要求：x?2y；此外，预算约束为：0.05x?0.1y?3。因而可以解得：x?30，y?15。（2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则戴维的预算约束变为：0.05x?0.15y?3；结合效用最大化条件x?2y，可知：x?24，y?12。2/20www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（3）为了在价格上涨后继续消费x?30，y?15，戴维需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻三明治，这要求收入增加：6?0.05?3?0.15?0.75（美元）。（4）（1）到（3）的结论如图5-2所示。图5-2互补型偏好下价格变化的影响（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格ps?2px?py来购买三明治。在（1）问中，ps?0.20，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?15；在（2）问中，ps?0.25，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?12。一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：qs?3，是一条双曲线。ps（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS取决于y/x的点，那么效用函数是位似的。（1）证明：在这种情况下，?x/?I是常数。（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相3/20www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台反方向变化，即不会产生吉芬悖论。证明：（1）随着收入的增加，px/py的比值保持不变，效用最大化条件要求MRS?px/py
也保持不变。而MRS取决于y/x，从而y/x也必须保持不变。又因为收入仅用于购买x和y，所以x和y都与收入成比例，即有?x/?I是常数。（2）由（1）可知，?x?y?0，?0，这说明x，y两种商品都是正常物品，而吉芬品?I?I为劣等品，所以吉芬悖论不成立。4．假设效用由下式给出：U?x,y??x0.3?y0.7
（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard引理计算x的补偿需求函数。（3）用（2）中得出的结论与x商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：x?0.3I/px，y?0.7I/py
从而可得间接效用函数为：0.30.70.30.7
U?0.30.3?0.70.7I/pxpy?BI/pxpy
其中，B?0.30.3?0.70.7。?10.30.7
根据对偶性质，支出函数为：E?B?U?pxpy。c?1?0.70.7
（2）利用Shephard引理可知，补偿需求函数为：x??E/?px?0.3BUpx?py。（3）因为：ex,px??1，ex,I?1，ex
c
,px
??0.7，sx?0.3，所以可得：ex,px?exc,p?sxex,I??0.7?0.3?1??1x
故本题符合斯勒茨基方程式。4/20www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台5．假设x与y商品的效用函数为：U?x,y??xy?y（1）计算x与y的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述I或其他商品的价格变化怎样使x与y的需求曲线发生变化。（2）计算x与y的支出函数。（3）用（2）中计算出的支出函数计算x与y商品的补偿需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x与y的补偿需求函数将如何发生变化。解：（1）效用最大化问题为：maxU?x,y??xy?ys..tpxx?pyy?I设拉格朗日函数为：L?xy?y???I?pxx?pyy?一阶条件为：?L?y??px?0?x?L?x?1??py?0?y?L?I?pxx?pyy?0??从而可以解得马歇尔需求函数为：x?y?I?px2pxI?px2py
因此，py的变化不影响x，而px的变化影响y。收入I的增加将使x与y的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。（2）将x与y的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：U?5/20?I?px?4pxpy
2
；
尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题详解-商品间的需求关系【圣才出品】
