2013年福建省高中数学竞赛
暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知数列?an?满足a1?32，an?1?an?2n（n?N*），则【答案】
31 3an的最小值为 。 n【解答】由a1?32，an?1?an?2n知，
an?an?1?2(n?1)，an?1?an?2?2(n?2)，??，a2?a1?2?1，a1?32。
上述n个等式左右两边分别相加，得an?n(n?1)?32。 ∴
anaa325231；n?6时，n?。 ?n?1?，又n?5时，n?nnn5n3an31取最小值。
3n∴ n?6时，
2．对于函数y?f(x)，x?D，若对任意的x1?D，存在唯一的x2?D，使得
f(x1)f(x2)?M，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M。已知f(x)?x3?x2?1，
x??1，2?，则函数f(x)?x3?x2?1在?1，2?上的几何平均数M? 。
【答案】 5 【解答】 ∵ 当1?x?2时，f?(x)?3x2?2x?x(3x?2)?0，
2?上为增函数，其值域为?1，5?。 ∴ f(x)?x3?x2?1在区间?1，∴ 根据函数f(x)几何平均数的定义知，M?5。
1123．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足??，则称a、b、c是调和的；若
abc满足a?c?2b，则称a、b、c是等差的。已知集合M??xx?2013，x?Z?，集合P是集
b，c??M。若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差合M的三元子集，即P??a，的，则称集合P为“好集”。则不同的“好集”的个数为 。
【答案】 1006
?112???【解答】若a、b、c既是调和的，又是等差的，则?abc，a??2b，c?4b。
??a?c?2bb，4b?（b?0）的集合。 即“好集”为形如??2b，由“好集”是集合M的三元子集知，?2013?4b?2013，b?Z，且b?0。
1
∴ ?503?b?503，b?Z，且b?0。符合条件的b可取1006个值。 ∴ “好集”的个数为1006。
4．已知实数x，y满足xy?1?4x?y，且x?1，则(x?1)y(?为 。
【答案】 27
【解答】由xy?1?4x?y知，y?∴ (x?1)y(?2?)x?(4x?11)(?x?14x?1。 x?13x(??2)1)x(?21)。
x?1的最小值2设x?1?t，则t?0，
(x?1)(y?2)?3(x?1)(2x?1)3(t?2)(2t?1)1??6(t?)?15?27。
x?1tt1当且仅当t?，即t?1，x?2，y?7时等号成立。
t∴ (x?1)y(?的最小值为27。 2)5．如图，在四面体ABCD中，AB?平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形。若AB?2，则四面体ABCD外接球的面积为 。
【答案】 16?
【解答】如图，设正△BCD的中心为O1，四面体ABCD外接球的
23?3?3。 球心为O。则OO1?平面BCD，OO1∥AB，BO1??32取AB中点E。
由OA?OB知，OE?AB，OE∥O1B，OO1?EB?1。 于是，OA?OB?2。
∴ 四面体ABCD外接球半径为2，其面积为16?。
6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。
【答案】
2 7【解答】设正十边形为A1A2?A10。则
以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个。同理分别以A2A3、A3A4、
2
A4A5、?、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。
以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个。同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、?、
A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。
以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个。同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、?、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。
所以，所求的概率P?30?20?102?。 4C107?2??内的所有实根之和为 。（符?在区间?0，??x?x?17．方程sin?x???????2?2?2号?x?表示不超过x的最大整数）。
【答案】 12
?x?x?x??x?【解答】设??????，则对任意实数x，0????1。
?2?2?2??2???x?1?原方程化为sin?x??????。
??2?2???x?1??x?1① 若0????，则sin?x???????0，?x?k?（k?Z）。
2222??????2??知，x?0，1，2，3，4，5，6。 ∴ x?k（k?Z）。结合x??0，经检验，x?0，2，4，6符合要求。 ② 若
??x?1?11?x?。 ????1，则sin?x???????1，?x?2k???（k?Z）
2?2?2??2?2?11592??知，x?，，。 ∴ x?2k?（k?Z）。结合x??0，2222经检验，x?159，，均不符合要求。 222∴ 符合条件的x为0，2，4，6，它们的和为12。
x?f(x)?38．已知f(x)为R上增函数，且对任意x?R，都有f?则f2 )(? 。???4，
【答案】 10
【解答】依题意，f(x)?3x为常数。设f(x)?3x?m，则f(m)?4，f(x)?3x?m。 ∴ 3m?m?4，3m?m?4?0。易知方程3m?m?4?0有唯一解m?1。
x?，1f(2)?32?1?10。 ∴ f(x)?39．已知集合A的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，A中每一个数都等于A中某两个数（可以相同）的和。则A的最小值为 。（符号A表示集合A中元素的个数）
3
【答案】 10
2，，，3510，20，40，80，160，200?符合要求。此时，A?10。【解答】易知集合A??1，
下面说明A?9不符合要求。
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，200?，x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7符合要求。假设集合A??1，
则x1?1?1?2，x2?2?2?4，x3?8，x4?16，x5?32，x6?64，x7?128。 由于x6?x7?64?128?192?200，因此，200?x7?x7，x7?100。 同理，由x5?x6?32?64?96?100，知，x7?100?x6?x6，x6?50。 由x4?x5?16?32?48?50，知，x6?50?x5?x5，x5?25。 由x3?x4?8?16?24?25，知，x5?25?x4?x4，x4?25与x4为整数矛盾。 2∴ A?9不符合要求，A?9。同理，A?8也不符合要求。 因此，A的最小值为10。
?x，若x为无理数?10．已知函数f(x)??q?1，则函数f(x)在q*，若x?，其中p，q?N，且p、互质，qp?q?pp?78区间(，)上的最大值为 。
89【答案】
16 1778a78【解答】若x为有理数，且x?(，)。设x?， ?(，)（a，??N*）
89a??89由
?9a?8a?8?7a8，7??a?8?。 ??知，?7a?7??8a8a??9?当??1时，a不存在；
当??2时，存在唯一的a?15，此时x?1516，f(x)?。 17177??m?1。
8??m当??3时，设a?7??m，其中1?m???1，且m?N*，此时f(x)?∵
167??m?1?9?m?17?(?m?)?(8?17)????0， 17?8?m17?(8?m)1?7?(m8)∴ 若x为有理数，则x?1516时，f(x)取最大值。 171778816又x为无理数，且x?(，)时，f(x)?x??。
89917
4
7816综合以上可知，f(x)在区间(，)上的最大值为。
8917二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．将各项均为正数的数列?an?排成如下所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行中，下标小的数排在左边）。bn表示数阵中，第n行、第1列的数。已知数列?bn?为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列（第3行的3个数构成公差为d的等差数列；第4行的4个数构成公差为d的等差数列，??），a1?1，a12?17，a18?34。
（1）求数阵中第m行、第n列的数A(m，。 n)（用m、n表示）（2）求a2013的值；
（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。
【解答】（1）设?bn?的公比为q。
依题意，a12为数阵中第5行、第2列的数；a18为数阵中第6行、第3列的数。 ∴ b1?1，bn?qn?1，a12?q4?d?17，a18?q5?2d?34。 ??……… 5分 ∴ q?2，d?1，bn?2n?1。
)?mb?(n?1)d?m?21∴ A(m，n?n。? 1 ………………… 10分
a7
a4
a2
a1
a3
a6
a10
a5
a8
a9
? ? ? ? ?
（2）由1?2?3???62?1953，1?2?3???62?63?2016，2013?1953?60知，
a2013为数阵中第63行，第60列的数。
∴ a2013?262?59。 ………………… 15分 （3）假设2013为数阵中第m行、第n列的数。
∵ 第m行中，最小的数为2m?1，最大的数为2m?1?m?1， ∴ 2m?1?2013?2m?1?m?1 ????? ① 。
由于m?10时，2m?1?m?1?29?9?512?2013，因此m?10不符合①； 由于m?11时，2m?1?210?1024?2013，因此m?11不符合①； ∴ 上述不等式①无正整数解。
∴ 2013不在该数阵中。 ………………… 20分
5
2013年全国高中联赛福建省预赛试题参考答案
