圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么 【考题回放】
2 2
1已知双曲线^ _ 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交
Xy
a b
点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.
2 2
(C)
[2, P)
D.(2,+
2. P是双曲线 Z_Z=i的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)+ y= 4和(x-5)+ y= 1上的点，贝V |PM| - |PN|的
2222
9 16
最大值为(D )
A. 6
2
B.7 C.8 D.9
3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A )
A.
4
3
2x
B .
7
C .
5
8
D
. 3
5
2y
已知双曲线 飞-—=1,(a >0,b AO)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上，且|PF|=4| P冋，则此
4.
a b
双曲线的离心率 e的最大值为：(B)
4
(A) —
5
(B) —
(C) 2
(D)
7
—
3 3 3
已知抛物线32 . ___
5.
22
y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(X1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U y/+y2的最小值是
6. 对于抛物线y=4x上任意一点 Q,点P (a, 0)都满足| PQ >| a|，则a的取值范围是(B ) (A) (-3
0)
(B) (-3
2]
( C) : 0, 2:
(D) ( 0, 2)
2
★★★高考要考什么
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1) 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
(2) 不等式(组)求解法：禾U用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组) ，通过 解不等式组得出参数的变化范围；
(3) 函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函 数的值域来求参数的变化范围。
(4) 利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
(5) 结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。 因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数0简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； (6) 构造一个二次方程，利用判别式 厶_0。 ★★★突破重难点
【例1】已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件|PM | - |PN |=2?三.记动点P的轨迹为 W
(I)求W的方程； T t
(n)若A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA OB的最小值? 解：(I)依题意，点 P的轨迹是以 M N为焦点的双曲线的右支，
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所求方程为： ———=1
(X 0)
2 2
(H)当直线 AB的斜率不存在时，设直线 AB的方程为X= X0, 此时 A Xo, —2 ), B (xo,—寸XQ—2 ), (A(B = 2 当直线AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为y= kx + b,
(
2 2
2
2
2
代入双曲线方程 ———=1中，得：(1 — k) x — 2kbx— b— 2 = 0
2 2
依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设 A(X1, y1), 0X2, y2)，则
A=4kb _4(1_k) .(_b _2)启0 * 2kb 门 % + x2 = --- > 0
2
1 -k
b2 +2 门
=——>0
2222
解得|k| 1,
jt
2I OA OB = X1X2 + y1y2 2= X1X2+( kx1+ b) (kx2+ b) b=
=(1 + k) X1X2+ kb (xi + X2)+
2
1
综上可知
2k + 2 小 1 4
OAOB的最小值为2
2
【例2】给定点A(-2,2) ，已知B是椭圆—-
=1上的动点，F是右焦点，当
AB
弓
BF
取得最小值时，试求
B点的坐标。
25 16
3
解：因为椭圆的,
所以 AB + — BF
5
5
定义
|BF |
3
1 1 为动点B到左准线的距离。故本题可化为, AB — + - BF ，而一 BF
e e
B作I的垂线，垂点为 N,过A作此准线的垂线，垂
AM点和左准线的距离之和最小，过点 在椭圆上求一点B,使得它到 点为由椭圆
|BF | 5
e?| BN |
| BF |
于是
5 AB + _ BF
AB | | BN |_|AN |一 AM 为定值
其中，当且仅当 B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时
2
5
B
所以，当lA^-IBFl取得最小值时，点坐标为(
5、3 2〒)
2
2
【例3】已知P点在圆x+(y-2) =1上移动，Q点在椭圆 —? y =1上移动,试求|PQ|的最大值。
2
2
9
解：故先让 Q点在椭圆上固定，显然当 PQ通过圆心O时|PQ最大，因此要求|PQ的最大值，只要求|OQ的最大
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值.设 Qx, y)，则 |OQ= x+(y-4) ①
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因Q在椭圆上，则x=9(1- y) ②
将②代入①得 | OQ = 9(1- y)+( y-4) = _8 fy + [ +27
2
2
2
1
因为Q在椭圆上移动，所以 -1_y_1，故当y 时, 此时PQ
V 2丿
1
OQmax ?3
max
【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是 函数自变量取值范围的考察不能被忽视
。
且离心率e满足：-,e,-成等差
9” 2
【例4】已知椭圆的一个焦点为 Fi(0, - 2、.2 )，对应的准线方程为 y
一〒，
数列。
(1)求椭圆方程;
3
1
3
(2)是否存在直线I，使I与椭圆交于不同的两点
斜角的范围；若不存在，请说明理由。 (1)解：依题意 e=
2 2
M N,且线段
MN恰被直线x n-平分，若存在，求出I的倾
2
，: —
3
c
-2、、2 =
4
9、. 2 4
4
? a= 3, c = 2 , b= 1,
2
又Fi(0，- 2.2)，对应的准线方程为 y (2)假设存在直线l，依题意I ?直线I的斜率存在。
交椭圆所得弦
???椭圆中心在原点，所求方程为
1
MN被 x 平分
设直线 I : y = kx + m
2 2 2
y 二 kx m
由2 v
2
消去y，整理得 (k + 9)x + 2kmx+ m-9 = 0
x I 9
1
2 2 2 2 2 2
?/ I 与椭圆交于不同的两点 M “，???△= 4km— 4(k+ 9)( m - 9) >0 即 m-k - 9v 0 设 M(xi, yi), N(X2, y2)
2
把②代入①式中得
9
4k
XX2-km 1 k 9
(k 9) ::: 0 ,? k> ,3或kv- . 3
. H 2 兀
一…亠 _ . K JI .
?直线l倾斜角隈三(§，-)
圆锥曲线中的最值和范围问题(二)
【例5】长度为a ( a 0 )的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段 (■为常数且■ - 0 ).
(1) 求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型；
AB上，且齐=\PB
a
(2) 当 =2时，已知直线I1与原点O的距离为一，且直线I1与轨迹C有公共点，求直线h的斜率k的取值范围.
2
答案：(1)设 P(x,y)、A(X0,0)、B(0,y。)，则
x° =(1 ■ ')x
AP M..PB=
.
1
=■ V ■，由此及 |AB| = a= X y2 =a2，得
jy。=「一y
2
ly \。-y)
2
(1 r.)x 丨? -- y =a，即 x ?气 —
2
' ' 1 ■'
(*)
①当0 ￡丸￡1时，方程(*)的轨迹是焦点为(±J— a,0)，长轴长为 一 a的椭圆.
V1 +九 1 +九
②当，1时，方程(* )的轨迹是焦点为(0「一
1
a)，长轴长为
V 1+ 扎
1
a的椭圆.
解析几何专题4：__圆锥曲线中的最值和范围问题(解析版)解答
