第6章 实二次型
二次型是线性代数的主要内容之一，它在工程技术领域有着广泛的应用，作为可对角化矩阵的应用是用正交变换化实二次型为标准形，它与实对称矩阵正交相似于对角矩阵是以两种形式出现的同一问题。正定二次型是有广泛应用的一种特殊的二次型，要掌握其判定方法。 6．1二次型及其矩阵表示
定义（实二次型） 设aij(i,j?1,2,?,n;i?j)均为实常数，称关于n个实变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式函数
f(x1,x2,?xn)?a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3???2a1nx1xn2a22x2?2a23x2x3???2a2nx2xn??2?annxnnn
??aiix??2aijxixj2ii?1i,j?1i?j为一个n元实二次型，简称为n元二次型。
T令aij?aji，则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi，再令矩阵A?(aij)n?n，x?(x1,x2,?,xn)，
则A为实对称矩阵，且可将二次型写成
?a11?nn?a21f(x1,x2,?xn)???aijxixj?(x1,x2,?xn)??i?1j?1??a?n1或
a12a22?an2?a1n??x1?????a2n??x2?
???????????ann???xn?f(x)?xTAx
称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A为二次型f的矩阵，并称A的秩为二
次型f的秩。
2注意二次型f的矩阵A?(aij)n?n的元素为：aii为xi的系数(i?1,2,?,n),aij?aji为xixj的系数的一半(i,j?1,2,?,n;i?j)。 6．2合同变换与二次型的标准形
定义（满秩线性变换）设C?(cij)n?n为满秩方阵，则称由变量y1,y2,?,yn到变量
x1,x2,?,xn的线性变换
?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn ?????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn为满秩线性变换或可逆变换。
如记
?x1??x?x??2?,??????xn??y1??y?y??2?
??????yn?则可将线性变换式简写成x=Cy。特别地，当P为n阶正交矩阵时，正交变换x=Py是满秩线性变换。
定义（二次型的标准形与规范形）如果对二次型f(x)?xAx作为满秩线性变换x=Cy，将f化成只含变量的平方项而不含变量的交叉乘积项的形式
222d1y1?d2y2???dnyn
T则称此式为二次型f的标准形，如果该式中的d1,d2,?,dn只取{1,-1,0}中的数，则称上式为二次型f的规范形。
要使f(x)?xAx经过满秩线性变换x=Cy化成标准形，就是要使
x?CyT22f(x)?xAx????yTCTACy?d1y12?d2y2???dnynT?d1??(y1,y2,?,yn)????也就是要使
d2??y1???y???2?????????dn??yn?
?d1?TCAC?????Td2??? ???dn?（*）
为对角矩阵。所以，寻求满秩线性变换x=Cy化二次型f为标准形，从矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵C，使得CAC为对角矩阵。
定义（合同矩阵与合同变换）对于n阶方阵A,B，如果存在n阶可逆方阵C，使得CAC?B，
T则称A和B合同（或A合同于B），并称由A到CAC?B的变换为合同变换。 矩阵的合同关系具有自反性（ETAE=A，A与A自身合同），对称性（若A与B合同，A与B合同）、传递性（若A与B合同，B与D合同，则A与D合同）。 由于二次型由它的实对称矩阵唯一确定，而二次型的标准形的矩阵为对角矩阵，于是由（*）知用满秩线性变换化f(x)?xAx为标准形，其实质就是用合同变换化实对称矩阵A为对角矩阵。
显然，若A与B合同，则A与B等价（反之不真）。因此，合同的矩阵必有相同的秩，于是由（*）知，f的标准形中系数非零的平方项的个数等于f的秩。
由上一章的知识知道，对于任何实对称矩阵A，必存在正交矩阵P，使PAP成对角矩阵，将此结论应用于二次型，就有
定理 任给二次型f(x)?xAx，总有正交变换，x?Py（其中P为正交矩阵），使f化成标准形
22f??1y12??2y2????nyn
TTTT其中?1,?2,?,?n为A的全部特征值。
如无特别要求，用满秩线性变换变换成二次型为标准形的方法有若干种，除正交变换法外，
还有配方法。
用配方法化二次型为标准形，如果f中含有变量x1的平方项及交叉乘积项，则把含x1的所以项归并在一起，并按x1配成完全平方，然后按此法再对其他的变量配方，直至将f配成平方和的形式；如果二次型f中不含变量的平方项，但含交叉乘积项xixj，则先作满秩线性变换
?xi?yi?yj??xi?yi?yj(k?i,k?j) ??xk?yk使f中出现平方项，再按上述方法配方。
应该注意，用配方法化f(x)?xAx所成的标准形中，变量平方项的系数不一定都是A的特征值。
6．3惯性定理与正定二次型
定理（惯性定理）设有二次型f(x)?xAx，它的秩为r，有两个满秩线性变换
TT
实二次型
