2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x14．三、解答题
17．解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得
22212115．0.1816．2 3b2?c2?a2?bc．
b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．
（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC，
??????即6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222??由于0?C?120，所以sinC?60????2，故 2sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?
理科数学试题 第 6 页（共 11 页）
6?2． 4
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且
ME=
1B1C． 21A1D．由题设知2又因为N为A1D的中点，所以ND=
A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
A(2,0,0)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，A（，M(1,3,2)，12,0,4）A1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．
??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，
??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．
?4z?0．????n?MN?0， 设n?(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则???n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为
19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2理科数学试题 第 7 页（共 11 页）
（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4?3?12(t?1)?y?x?t22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 92837x?． 28所以l的方程为y?（2）由AP?3PB可得y1??3y2．
3??y?x?t2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有
22?2??唯一零点，
设为?.
则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯
2??2?????一极大值点，即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.
2??理科数学试题 第 8 页（共 11 页）
（2）f(x)的定义域为(?1,??).
（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.
??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递
?2??2???????减，而f'(0)=0，f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当
?2??2????x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,?时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递
?2????增，在??,?单调递减.
?2??????????又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，
?2??2??2????
f(x) 在?0,?没有零点.
?2?
??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而
?2??2????f(?)?0，所以f(x)在?,??有唯一零点.
?2????f???0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点.
综上，f(x)有且仅有2个零点.
21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.
P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为
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（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.
因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即
pi?1?pi?4?pi?pi?1?.
又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,比数列．
（ii）由（i）可得
,7)为公比为4，首项为p1的等
p8 ?p8?p7?p7?p6?.
由于p8=1，故p1??p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??48?1??p1?p0??p1 33，所以 48?144?11p4 ??p4?p3???p3?p2???p2?p1???p1?p0??p1 ?.
3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
21?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角2?221?t221?t?????1?t?221?0.0039，此257y2?1(x??1). 坐标方程为x?42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）.
?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为. 77理科数学试题 第 10 页（共 11 页）
当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
3?3?22222223．解：（1）因为a?b?2ab,b?c?2bc,c?a?2ac，又abc?1，故有
a2?b2?c2?ab?bc?ca?所以
ab?bc?ca111???.
abcabc111???a2?b2?c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有
(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)
?3?(2ab)?(2bc)?(2ac)
=24.
所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.
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2024年6月高考全国1卷理科数学及答案
