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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．已知集合M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0?，则MA．{x?4?x?3? C．{x?2?x?2?
N=
B．{x?4?x??2? D．{x2?x?3?
2．设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则 A．(x+1)?y?1 C．x?(y?1)?1
2222
B．(x?1)?y?1 D．x?(y+1)?1
2222a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则 3．已知 A．a?b?c B．a?c?b C．c?a?b D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长
5?15?1≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维（22纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长
度之比是5?1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 2cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
度之比也是理科数学试题 第 1 页（共 11 页）
5．函数f（x）=
sinx?x在[??,?]的图像大致为 2cosx?x
B．
A．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A．
5 16B．
11 32C．
21 32D．
11 167．已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为 A．
8．如图是求
π 612?12?12B．
π 3C．
2π 3D．
5π 6的程序框图，图中空白框中应填入
1 2?A1B．A=2?
A1C．A=
1?2A1D．A=1?
2AA．A=
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则 A．an?2n?5
2C．Sn?2n?8n
an?3n?10 B． D．Sn?
12n?2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
x2?y2?1 A．2x2y2??1 B．
32x2y2??1 C．
43x2y2??1 D．54理科数学试题 第 2 页（共 11 页）
11．关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（
?2,?）单调递增
③f（x）在[??,?]有4个零点 ④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正
三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86?
B．46?
C．26?
D．6?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y?3(x?x)e在点(0，0)处的切线方程为______．
214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=_______．
2x1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_______．
x2y216．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C
abF1B?F2B?0，的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A?AB，则C的离心率为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
22B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)?sinA?sinBsinC． △ABC的内角A，
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC．
18．（12分）
AA1=4，AB=2，如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，
∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
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19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若AP?3PB，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明： （1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2?2,8)表示“甲药的累计得分为
i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1
(i?1,2,,7)，其中a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
,7)为等比数列；
（i）证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
理科数学试题 第 4 页（共 11 页）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?，?2?1?t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O
4t?y??1?t2?为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
111???a2?b2?c2； abc（2）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24．
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2019年6月高考全国1卷理科数学及答案
