2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第12章 概率、随机变量及其分布 63

你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵

【课时训练】第63节 离散型随机变量的均值与

方差、正态分布

一、选择题

1．(2018浙江嘉兴一中质检)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝( )

X P A．2 C．4 【答案】C

111【解析】p＝1－6－3＝2，

111

E(X)＝0×6＋2×2＋a×3＝2?a＝3，

11122

所以D(X)＝(0－2)×6＋(2－2)×2＋(3－2)×3＝1，所以D(2X

2

0 16 2 p a 13 B．3 D．5

－3)＝22D(X)＝4，故选C.

2．(2018广东广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)＝( )

A．0.45 【答案】B

【解析】易知随机变量X的取值为0,1,2，由古典概型的概率计6

算公式得P(X＝0)＝C3＝0.6，

5

31

P(X＝1)＝C3＝0.3，P(X＝2)＝C3＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3

55

＋2×0.1＝0.5，故选B.

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B．0.54 C.0.55 D．0.6

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3．(2018浙江东阳模拟)若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，则2D?ξ?－1

的最大值为( ) E?ξ?

A．2＋2 C．2－2 【答案】D

【解析】随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P(ξ＝1)＝p，P(ξ2D?ξ?－1

＝0)＝1－p，即ξ～B(1，p)，则E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)，＝

E?ξ?1??1??2p＋2－p?.而2p＋p≥2?

1

2p·p＝2

12

2，当且仅当2p＝p，即p＝2

2

B．2

2

2

D．2－2

2D?ξ?－12

时取等号．因此当p＝2时，取得最大值2－22.

E?ξ?

4．(2018南阳模拟)设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，5

p)，若P(X≥1)＝9，则D(3Y＋1)＝( )

A．2 C．6 【答案】C

122

【解析】由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C2p(1－p)＋C2p

B．3 D．7

1?1?2?511?

???＝9，所以p＝3，则Y～B3，3，故D(Y)＝3×3×1－3?＝3，所以????2

D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×3＝6.

5．(2018江西宜春质检)已知随机变量ξ的所有可能取值分别为1,2,3,4,5.若数学期望E(ξ)＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为( )

A．0.1 C．0.2 【答案】C

【解析】设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率分别为p1，p2，p3，p4，

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B．0.15 D．0.25

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p5，pi∈[0,1]，i＝1,2,3,4,5，则p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，则p1＋2p2＋3p3＋4(1－p1－p2－p3－p5)＋5p5＝4.2，p5＝0.2＋3p1＋2p2＋p3≥0.2，当p1＝p2＝p3＝0时等号成立．

6．(2018吉林长春质检)据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位：万)服从正态分布X～N(6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P(|X－μ|<σ)＝0.682 6，P(|X－μ|<2σ)＝0.954 4，P(|X－μ|<3σ)＝0.997 4)( )

A．0.682 6 C．0.997 4 【答案】D

P?5.2

【解析】因为μ＝6，σ＝0.8，所以P(6

2＝0.341 3.故选D.

7．(2018广东惠州二调)设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξa＋1)，则实数a等于( )

A．7 C．5 【答案】B

【解析】由随机变量ξ服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x＝4，又P(ξa＋1)，∴x＝a－5与x＝a＋1关于直线x＝4对称，∴(a－5)＋(a＋1)＝8，即a＝6.故选B.

8．(2018河北石家庄一模)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

B．6 D．4 B．0.954 4 D．0.341 3

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