中小学教育教学资料
每日一题 规范练(第四周)
[题目1] (本小题满分12分)在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，b2，S5＋2，
b4成等比数列．
(1)求{bn}的通项公式；
(2)设an＝(e)bn，求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{bn}的公差为d， 因为b2, S5＋2，b4成等比数列，b3＝6，
bn2b1＋2d＝6，??所以? 5×45b1＋d＋2＝（b1＋d）（b1＋3d），?2???b1＝2，??b1＝10，解得?或?
?d＝2，?d＝－2.??因为数列{bn}单调递增，所以d＞0， 所以b1＝2，d＝2，
所以{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)因为an＝(e)bn，所以an＝ne. 所以Sn＝1·e＋2e＋3e＋…＋ne， 所以eSn＝1·e＋2e＋3e＋…＋ne以上两个式子相减得，
(1－e)Sn＝e＋e＋e＋…＋e－ne所以(1－e)Sn＝所以Sn＝
2
3
2
3
4
1
2
3
bn2nnn＋1
，
nn＋1
，
e－en＋1n＋1
－ne， 1－enen＋2－（n＋1）en＋1＋e. （1－e）2b3c－a＝. cos Bcos A[题目2] (本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)若a＝2sin A，求b；
(2)若b＝3，△ABC的面积为22，求a＋c. 解：(1)由正弦定理得
b3c－asin B＝?＝ cos Bcos Acos B3sin C－sin A，
cos A即cos Asin B＝3cos Bsin C－sin Acos B， 所以sin Acos B＋cos Asin B＝3cos Bsin C，
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即sin(A＋B)＝3cos Bsin C， 又sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 所以sin C＝3cos Bsin C. 因为sin C≠0，所以cos B＝， 则sin B＝
1322， 3因为a＝2sin A， 由正弦定理，得b＝sin B·
a224＝×2＝. sin A33(2)因为△ABC的面积为22，
所以S△ABC＝acsin B＝22，得ac＝6， 因为b＝3，
所以b＝a＋c－2accos B＝a＋c－ac＝(a＋c)－ac＝(a＋c)－16＝9， 因此(a＋c)＝25. 又a＞0，c＞0， 故a＋c＝5.
[题目3] (本小题满分12分)如图所示，在左边的平面图中，AB＝BC＝CD＝2，AE＝2，AC＝22，π
∠ACD＝，AE⊥AC，F为BC的中点．现在沿着AC将平面ABC与平面ACDE折成一个直二面角，如下图，
2
2
2
2
2
2
12232
832
4连接BE，BD，DF.
(1)求证：DF∥平面ABE；
(2)求二面角E-BD-C平面角大小的余弦值．(1)证明：
在直观图中，过点D作DG⊥AC交AC于点G(如图1)．因为AE⊥AC，所以AE∥DG.
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图1
π
因为CD＝2，∠ACD＝，
4所以DG＝CG＝2.
因为AE＝2，所以AE＝DG，所以四边形AGDE为矩形．所以ED∥AG，ED＝AG，取AB的中点H，连接EH，HF，因为F为BC的中点，所以HF∥AG，HF＝AG，
所以HF∥ED，HF＝ED，所以四边形EDFH为平行四边形，从而DF∥EH.
因为DF?平面ABE，EH?平面ABE，所以DF∥平面ABE.
(2)解：以A为原点，AC，AE所在射线为y轴，z轴建立空间坐标系(如图1)．因为AB＝BC＝2，AC＝22，
π
所以AB⊥BC，且∠CAB＝，则B(2，2，0)．
4→因为E(0，0，2)，所以EB＝(2，2，－2)．
→又ED＝(0，2，0)，设平面EBD的一个法向量为n1＝(x1，y1，1)．
则??2x1＋2y1－2＝0，?2y1＝0，解得x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)．
→→又D(0，2，2)，C(0，22，0)．所以CB＝(2，－2，0)，CD＝(0，－2，2)．
设平面CBD的一个法向量为n2＝(x2，y2，1)，
?2x2－2y2＝0， 则?解得x2＝1，y2＝1，所以n2＝(1，1，1)．
?－2y2＋2＝0，设平面BDE与平面BCD所成角的大小为θ，由图易知，平面BDE与平面BCD所成角为钝角，则cos θ
＝－
|n1·n2|26＝－＝－.|n1|·|n2|32×3星期四 2019年4月11日
[题目4] (本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份销售量x(万件)利润y(万元) 3 19 1 6 34 2 4 26 3 7 41 45846(1)从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；
2019高考数学二轮复习每日一题规范练第四周理
