第二章 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为( B ) A．(1,0) C．(3,0)
p
[解析] 因为准线方程为x＝－2＝－，
2p
所以焦点为(，0)，即(2,0)．
2
2．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为( C ) 1A．
2C．2
[解析] 抛物线x2＝4y中，p＝2， ∴焦点到准线的距离为2.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( C ) 1A．
2C．2
B．1 D．4 B．1 D．4 B．(2,0) D．(－1,0)
p
[解析] 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－，由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝
216.
p
∵准线与圆相切，∴3＋＝4，∴p＝2.
2
4．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( A ) A．0 7C．
8
15B．
1617D．
16
[解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
5．从抛物线y2＝4x图像上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为( A )
A．10 C．6
B．8 D．4
[解析] 设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
1
∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
2
x2y2
6．(2019·四川高三第一次诊断性测试)设椭圆2＋2＝1(m>0，n>0)的一个焦点与抛物线
mn1
x2＝8y的焦点相同，离心率为，则m－n＝( A )
2
A．23－4 C．43－8
B．4－33 D．8－43
[解析] 由题意得，抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)， ∴椭圆的焦点在y轴上，∴c＝2，
1
由离心率e＝，可得n＝4，∴m＝n2－c2＝23，故m－n＝23－4.
2二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2__，准线方程为__x＝－1__. pp
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝
22－1.
8．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是__(2,0)__.
[解析] 抛物线y2＝8x的准线方程是x＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，得这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0)．
三、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2
为直径的圆和该抛物线的准线相切．
[证明] 设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|. ∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|， 11
∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.
22
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．
B级 素养提升
一、选择题
1
1．抛物线y2＝x的焦点关于直线x－y＝0对称的点的坐标是( B )
4A．(1,0) C．(0,1)
1
B．(0，)
161
D．(，0)
16
11
[解析] ∵y2＝x的焦点坐标为(，0)，∴抛物线的焦点关于直线y＝x对称的点的坐标
4161
为(0，)．
16
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是( D ) A．23 C．3
B．2 D．1
[解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋?3?2
＝1.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( C ) 1A．
2C．2
p
[解析] 抛物线的准线为x＝－，
2
p
将圆方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－＝－1?p＝2，选C．
24．(2019·山东济南历城第二中学高三月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线2π
为l，过抛物线C上的点A(4，y0)作AA1⊥l于点A1，若∠A1AF＝，则p＝( C )
3
A．6 C．24
B．12 D．48 B．1 D．4
2π
[解析] 作AB垂直于x轴，垂足为B，∵∠A1AF＝，
31
∴∠BAF＝30°，∴|BF|＝|AF|.
2根据抛物线的定义，可知|AA1|＝|AF|， p
且易知|OF|＝，|OB|＝4，
2
pp
可得2(－4)＝＋4，解得p＝24，故选C．
22
北师大版数学选修1-1作业：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
