第二章 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B ) A.(1,0) C.(3,0)
p
[解析] 因为准线方程为x=-2=-,
2p
所以焦点为(,0),即(2,0).
2
2.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为( C ) 1A.
2C.2
[解析] 抛物线x2=4y中,p=2, ∴焦点到准线的距离为2.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( C ) 1A.
2C.2
B.1 D.4 B.1 D.4 B.(2,0) D.(-1,0)
p
[解析] 由抛物线的标准方程得准线方程为x=-,由x2+y2-6x-7=0得(x-3)2+y2=
216.
p
∵准线与圆相切,∴3+=4,∴p=2.
2
4.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( A ) A.0 7C.
8
15B.
1617D.
16
[解析] 设M(x0,y0),则x0+1=1,∴x0=0,∴y0=0.
5.从抛物线y2=4x图像上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点为F,则△MPF的面积为( A )
A.10 C.6
B.8 D.4
[解析] 设P(x0,y0),∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=±4,
1
∴S△MPF=|PM|·|y0|=10.
2
x2y2
6.(2019·四川高三第一次诊断性测试)设椭圆2+2=1(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线
mn1
x2=8y的焦点相同,离心率为,则m-n=( A )
2
A.23-4 C.43-8
B.4-33 D.8-43
[解析] 由题意得,抛物线x2=8y的焦点为(0,2), ∴椭圆的焦点在y轴上,∴c=2,
1
由离心率e=,可得n=4,∴m=n2-c2=23,故m-n=23-4.
2二、填空题
7.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=__2__,准线方程为__x=-1__. pp
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由=1知p=2,则准线方程为x=-=
22-1.
8.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则这些圆必过一定点,这个定点的坐标是__(2,0)__.
[解析] 抛物线y2=8x的准线方程是x+2=0,根据抛物线的定义,圆心到直线x+2=0的距离等于圆心到焦点的距离,得这些圆必过抛物线的焦点,所以应填(2,0).
三、解答题
9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1、P2两点,求证:以P1P2
为直径的圆和该抛物线的准线相切.
[证明] 设线段P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.
∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|. ∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|, 11
∴|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.
22
由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切.
B级 素养提升
一、选择题
1
1.抛物线y2=x的焦点关于直线x-y=0对称的点的坐标是( B )
4A.(1,0) C.(0,1)
1
B.(0,)
161
D.(,0)
16
11
[解析] ∵y2=x的焦点坐标为(,0),∴抛物线的焦点关于直线y=x对称的点的坐标
4161
为(0,).
16
2.抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是( D ) A.23 C.3
B.2 D.1
[解析] 本题考查了抛物线y2=2px的焦点坐标及点到直线的距离公式.由y2=8x可得其焦点坐标(2,0),根据点到直线的距离公式可得d=|2-3×0|12+?3?2
=1.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( C ) 1A.
2C.2
p
[解析] 抛物线的准线为x=-,
2
p
将圆方程化简得到(x-3)2+y2=16,准线与圆相切,则-=-1?p=2,选C.
24.(2019·山东济南历城第二中学高三月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线2π
为l,过抛物线C上的点A(4,y0)作AA1⊥l于点A1,若∠A1AF=,则p=( C )
3
A.6 C.24
B.12 D.48 B.1 D.4
2π
[解析] 作AB垂直于x轴,垂足为B,∵∠A1AF=,
31
∴∠BAF=30°,∴|BF|=|AF|.
2根据抛物线的定义,可知|AA1|=|AF|, p
且易知|OF|=,|OB|=4,
2
pp
可得2(-4)=+4,解得p=24,故选C.
22
北师大版数学选修1-1作业:第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
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