全国I卷 2024届高三理数名校高频错题卷（十三）
参考答案
1．【答案】B
【解析】∵集合A={x|x＜1}，B={x|ex＜1}={x|x＜0}， CRB={x|x≥0}，CRA={x|x≥1}， ∴A∩B={x|x＜0}，故A错误； A∪B={x|x＜1}，故C错误；
A??CRB??R，故B=正确；
(CRA)?B??，故D错误．
故选B． 2．【答案】C
【解析】设z?a?bi，因为|z|?z?1?3i，
所以a2?b2?(a?bi)?1?3i，即(a2?b2?a)?bi?1?3i.
??a?4?a2?b2?a?1，解得：， ??b?3???b?3z?4?3i，z?42?32?5.
故选：C
3．【答案】B 【解析】f?log2故选：B. 4．【答案】D
??1?13?f?1?1??， ???2?22114131?， 为半径的球在正方体内部的体积为????()?283248又正方体的体积为1?1?1?1，
1?1. 根据几何概型的概率公式可得所求概率为：48??148【解析】以A为球心，故选：D
5．【答案】B
【解析】由题知：b?log23?log23(3)?log833?log85， 所以b?a.
222333c??log88?log8(2)?log822?log84?log85，
33所以a?c.
综上：b?a?c. 故选：B 6．【答案】A
【解析】Qa?0,且a?1，?t?6?ax为减函数.
若f?x?在?1,2?上单调递减，则a?1.且6?a?2?0，则1?a?3.
1?a?3是1?a?3的充分不必要条件. 故选A.
7．【答案】B
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【解析】第一次判断n的奇偶性前，n?3,i?0； 第二次判断n的奇偶性前，n?8,i?1； 第三次判断n的奇偶性前，n?4,i?2； 第四次判断n的奇偶性前，n?2,i?3； 此时判断后，n?1,i?4，终止循环，输出i. 故选：B. 8．【答案】C
【解析】当x?0时，x3ex?0，故排除选项B；f?1??e>1，故排除D；
f??x??x3?2x2ex，令f??x??0，得x?0或x??2，
则当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下表：
??x ???,?2? - ?2 0 极小值f??2? ??2,0? + 单调递增 0 0 ?0,??? + 单调递增 f??x? f?x? 9．【答案】A
单调递减 又因为f??0??0，故f?x?在x?0的切线为x轴，故排除选项A，所以选C.
22cb【解析】令x=c代入双曲线的方程可得y???1??， 2aa3ab2由F2Q?F2A,可得?，
2a即为3a2>2b2=2(c2?a2)，
c10① ?a23又PF1?PQ?F1F2恒成立，
2即有e?由双曲线的定义,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立， 由F2,P,Q共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=
3a， 23a， 2c7即有e?<②
a6可得3c<2a+
由e>1，结合①②可得， e的范围是(1, ).
故选：A. 10．【答案】B
【解析】因为O,M为中点，所以OM//AB，所以OM?BC， 又OF?BC，且OM?OF?O， 所以BC⊥平面OMF，
所以BF,CF与平面OFM所成的角分别为?BFO和?CFO，它们相等，等于45°， 根据直线与平面所成角的定义知，AC与平面OFM所成的角为?CMO??A?60o
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76故只有AF与平面OFM所成的角不为定值. 故选：B 11．【答案】B
【解析】因为f?x?的图象关于点??2,0?对称，所以f?x??f??4?x??0.
???f?1?2x??0，故f?3?x???f?1?2x??f???4??1?2x???， 所以f?3?x??f?2x?5?.
因为f3?x222因为f?x?是定义在R上的增函数，故3?x2?2x?5即x2?2x?8?0， 解得?4?x?2，故原不等式的解集为??4,2?，
故选：B. 12．【答案】B
【解析】Q函数f(x)是定义在R上的奇函数，?f(?x)??f(x)． 又Q函数g(x)?xf(x)?1，
?g(?x)?(?x)f(?x)?1?(?x)[?f(x)]?1?xf(x)?1?g(x)，
?函数g(x)是偶函数，
?函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的．
?函数g(x)在??6,6?上所有的零点的和为0，
?函数g(x)在??6,???上所有的零点的和，即函数g(x)在(6,??)上所有的零点之和．
由0?x?2时，f(x)?2|x?1|?1，
?2?x,0?x?1 即f(x)??x?22,1?x?2??1??函数f(x)在?0,2?上的值域为?,1?，当且仅当x?2时，f(x)?1
?2?1又Q当x?2时，f(x)?f(x?2)
2?11??函数f(x)在?2,4?上的值域为?,?，
?42??11?函数f(x)在?4,6?上的值域为?,?，
?84?1?11?函数f(x)在?6,8?上的值域为?,?，当且仅当x?8时，f(x)?，
?168?81?11?函数f(x)在?8,10?上的值域为?,?，当且仅当x?10时，f(x)?，
16?3216?1故f(x)?在?8,10?上恒成立，g(x)?xf(x)?1在?8,10?上无零点，
x同理g(x)?xf(x)?1在?10,12?上无零点， 依此类推，函数g(x)在(8,??)无零点，
综上函数g(x)?xf(x)?1在??6,???上的所有零点之和为8 故选：B． 13．【答案】6
【解析】作出可行域，如图所示：
答案第3页，总8页
由图可知最优解为M(2,1)， 所以zmax?3?2?1?1?6. 故答案：6
33 22【解析】f?(x)?2cos2x?2sinx?2(1?2sinx)?2sinx ??2(2sinx?1)(sinx?1).
?因为x?[0,]，所以sinx?[0,1]，
2?1当x?[0,]时，sinx?[0,]，f?(x)?0，f(x)为增函数.
62??1当x?(,]时，sinx?(,1]，f?(x)?0，f(x)为减函数.
622?33. 所以fmin(x)?f()?6233 故答案为：214．【答案】
15．【答案】2
【解析】由题意，焦点F(0,1)，设直线??=k??+1，不妨设A为左交点，A(??0,??0)，则过A的切线为??0??=2??0+2??，则M(20,0),N(0,???0)，所以S=2?
p
??
1
??02
1
则A(?2,1)，根据抛物线的定义可得|AF|=1+2=1+1=2.
?(???0)=2，解得??0=?2，
3003 7【解析】如图所示： 16．【答案】
设DE?t，?ADE??，则AD?tcos?， 则?CDF?180°?60o???120o??， 又?ACF?60o，所以?CFD??
DFCDCD??在△CDF中，由正弦定理得，解得
sin60osin?由AD?DC?20得tcos??tsin?23?tsin?， 33223tsin??20， 3答案第4页，总8页
得
t?2024??23232cos??sin?1?()sin(???)333 （其中tan??）7sin(???)2320340034003003?32????所以正三角形DEF的面积S?t77447， 2sin(???)4332当且仅当sin(???)?1时，等号成立.
故答案为：3003 717．【答案】（1）10；（2）该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求. 【解析】
11222，所以AB?AC?BC?2AC?BC?， 44所以3AC2?2AC?16?0，故AC?2，所以AB?4，三角形的周长为10. （2）设AC?x，则AB?2x，
5x2?165x2?16由余弦定理得cosA?，因为A??0,??， ?22?x?2x4x（1）因为cosC??5x2?16?所以sinA?1??， ?2?4x?故S?ABC2?5x2?16?11??2x?x?1????9x4?160x2?256 ?222?4x?2245180?640032?，当且仅当x?时，等号成立. ??9?x2???256??329?93?32?6，故该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求. 因为3n?118．【答案】(1)an?3n?1,bn?4;(2)42017?3. 【解析】（1）设等差数列?an?的公差为d．
5?4?5a?d?50,?1依题意得?解得a1?4，d?3， 2??a1?6d?22,所以an?a1??n?1?d?3n?1.
当n?1时，b2?3b1?1?4， 当n?2时，bn?1?3Sn?1，
bn?3Sn?1?1，
以上两式相减得bn?1?bn?3bn，则bn?1?4bn， 又b2?4b1，所以bn?1?4bn，n?N*. 所以?bn?为首项为1，公比为4的等比数列，
n?1所以bn?4．
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全国Ⅰ卷 2024届高三理数名校高频错题卷(十三)参考答案
