2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）
uuuruuruuuruuur1．已知向量AP?1,3，PB??3,1，则AP和AB的夹角等于 ．
????2．已知集合A?x?ax?1??a?x??0，且2?A，3?A，则实数a的取值范围是 ． 3．已知复数z?cos??2?2?32?isin，其中i为虚数单位，则z?z? ． 33x2y2a?0，b?0）的左、右焦点，P是4．在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别是双曲线2?2?1（
ab双曲线右支上一点，M是PF2的中点，且OM?PF2，3PF1?4PF2，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间?x1,x2?的长度为x2?x1.若函数y?log2x的定义域为?a,b?，值域为?0,2?，则区间?a,b?长度的最大值与最小值的差为 ．
6．若关于x的二次方程mx??2m?1?x?m?2?0（m?0）的两个互异的根都小于1，则实数m的取
2值范围是 ． 7．若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? ． ，则
cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx38．棱长为2的正方体ABCD?A其中顶点A保持在z轴上，顶1BC11D1在空间直角坐标系O?xyz中运动，点B1保持在平面xOy上，则OC长度的最小值是 ．
9．设数列a1,a2,a3,L,a21满足：an?1?an?1（n?1,2,3,L,20），a1，a7，a21成等比数列.若a1?1，
a21?9，则满足条件的不同数列的个数为 ．
10．对于某些正整数n，分数
n?2不是既约分数，则n的最小值是 ．
3n2?7二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
11．设数列?an?满足：
2nan*?1①a1?1；②an?0；③an?，n?N.
nan?1?1求证：（1）数列?an?是递增数列；
（2）对任意正整数n，an?1??k.
k?1n1x2y212．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：2?2?1（a?b?0），直线l：x?y?3a?0.若椭圆Eab的离心率为3，原点O到直线l的距离为32. 2（1）求椭圆E与直线l的方程；
（2）若椭圆E上三点P，A?0,b?，B?a,0?到直线l的距离分别为d1，d2，d3. 求证：d1，d2，d3可以是某三角形三条边的边长.
13．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为P，Q，R，S，OA与PS交于点A1，OB与PQ交于点B1，OC与QR交于点C1，OD与SR交于点D1，求证：四边形A1B1C1D1是平行四边形.
14．求满足x?x?y?y的所有素数x和y.
3732019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
参考答案
一、填空题
1．
?4 2．?,13?11? 3．?i U2,3???2232???3?7?4．5 5．3 6．??4,????
??7．3 8．6?2 9．15099 10．17
二、解答题
2nanan?1?111．证明：（1）因为an?1?an?an?1?，且an?0， ?nan?1?1nan?1?1所以an?1?an?0，所以an?1?an，n?N， 所以数列?an?是递增数列. （2）因为an?1?an?所以当n?2时，
*an?1a1?n?1?，
nan?1?1nan?1nan??an?an?1???an?1?an?2??L??a2?a1??a1
?1111??L???1 n?1n?221n1?1??.
k?1k又a1?1?1?1，
所以对任意正整数n，an?1?1. ?kk?1n?3a?2?32,??c?a?2,3,12．解：（1）由题设条件得??从而? 2?b?1.?a?b2?c2?a2,??x2?y2?1，直线l：x?y?6?0. 故所求的椭圆E：4（2）设P?2cos?,sin??，则d1?2cos??sin??62?6?5sin?????2，其中tan??2，
所以
62?1062?10. ?d1?22又d2?0?1?62?2?0?652，d3??22， 22故d2?d3. 因为d2?d3?529262?10?22???d1， 222d1?d3?62?10102?1052?22???d2. 222所以d1，d2，d3可以是某个三角形的三条边的边长. 13．证明：连接PR，QS.
因为圆O是四边形ABCD的内切圆， 所以OA是?SAP的平分线，且AP?AS. 在?ASP中，由三线合一，点A1是线段PS的中点. 同理点B1是线段PQ的中点， 所以A1B1∥SQ. 同理DC11∥SQ. 所以A1B1∥D1C1. 同理A1D1∥B1C1.
所以四边形A1B1C1D1的平行四边形.
14．解：满足题设条件的素数只有x?5，y?2. 假设y?5，则y7?y3?5y6?y3?y6?20y5?y3
?y6?6y5?70y4?y3?y6?6y5?15y4?20y3?15y2?6y?1
??y?1?.
5373所以x?x?x?y?y?y?1?，即x??y?1?.
2又因为xx3?x?y7?y3?y3?y?1??y?1?y?1，且x为素数，
626??2y3?y?1??y?1?y2?1， 而y?1?y?y?1?y?1??y?1??x，从而x?2??这与xy?y矛盾. 所以y?5.
因为y是素数，所以y?2，或y?3.
23当y?2时，x?x?120，即?x?5?x?5x?24?0，所以x?5.
73??当y?3时，x?x?2160?2?3?5. 因为xx?x?2?3?5，且x为素数， 所以x?2，或x?3，或x?5.
343经检验，x?2，或x?3，或x?5时，x?x?2?3?5，
343343所以满足条件的素数只有x?5，y?2.
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