七、
1．假设对氦原子基态采用玻尔模型，认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动，半径相同，角动量均为?：?= h / 2π，其中 h 是普朗克常量．
（I）如果忽略电子间的相互作用，氦原子的一级电离能是多少电子伏？一级电离能是指把其中一个电子移到无限远所需要的能量．
（II）实验测得的氦原子一级电离能是24.6 eV ．若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用，进一步假设两个电子总处于通过氦核的一条直径的两端．试用此模型和假设，求出电子运动轨道的半径 r0 、基态能量 E0 以及一级电离能 E+ ，并与实验测得的氦原子一级电离能相比较．
已知电子质量 m = 0.511 MeV / c2 ，c 是光速，组合常量?c =197.3 MeV ? fm = 197.3 eV ? nm ，ke2 = 1.44 MeV ? fm = 1.44 eV ? nm ，k 是静电力常量，e 是基本电荷量．
2．右图是某种粒子穿过云室留下的径迹的照片．径迹在纸面内，图的中间是一块与纸面垂直的铅板，外加恒定匀强磁场的方向垂直纸面向里．假设粒子电荷的大小是一个基本电荷量 e ：e = 1.60 ×10
－19
C ，铅板下部径迹的曲率半径 rd = 210 mm ，铅
板上部径迹的曲率半径 ru = 76.0 mm ，铅板内的径迹与铅板法线成 θ = 15.0° ，铅板厚度 d = 6.00 mm ，磁感应强度 B = 1.00 T ，粒子质量 m = 9.11 ×10
－31
kg = 0.511
MeV / c2．不考虑云室中气体对粒子的阻力．
（I）写出粒子运动的方向和电荷的正负．
（II）试问铅板在粒子穿过期间所受的力平均为多少牛？
（III）假设射向铅板的不是一个粒子，而是从加速器引出的流量为 j = 5.00 ×1018 / s 的脉冲粒子束，一个脉冲持续时间为?=2.50 ns ．试问铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力平均为多少牛？铅板在此期间吸收的热量又是多少焦？
第25届全国中学生物理竞赛决赛参考解答
一、
1 ．解法一：设守方队员经过时间 t 在 Ax 上的 C 点抢到球，用 l 表示 A 与C 之间的距离，lp 表示 B 与
图1
C 之间的距离（如图1所示），则有
l = vt ，lp = vpt （1）
2 2和 l2= d+ l－2dlcosθ． （2） p
解式（1），（2）可得
l =
dvp2
)－sin2θ ]1 / 2 }． （3） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)
由式（3）可知，球被抢到的必要条件是该式有实数解，即
vp ≥ vsinθ ． （4）
解法二：设 BA 与 BC 的夹角为 φ（如图1）．按正弦定理有
lp l
= ． sinθsinφ
利用式（1）有
vpsinθ= ． v sinφ
从 sinφ ≤1可得必要条件（4）．
2．用 lmin 表示守方队员能抢断球的地方与 A 点间的最小距离．由式（3）知
lmin =
dvp2
)－sin2θ ]1 / 2 }． （5） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)
若攻方接球队员到 A 点的距离小于 lmin ，则他将先控制球而不被守方队员抢断．故球不被抢断的条件是
lr ＜ lmin ． （6）
由（5），（6）两式得
dvp2
lr ＜ )－sin2θ ]1 / 2 } （7） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)
由式（7）可知，若位于 Ax 轴上等球的攻方球员到 A 点的距离 lr 满足该式，则球不被原位于 B 处的守方球员抢断．
3．解法一：如果在位于 B 处的守方球员到达 Ax 上距离 A 点 lmin 的 C1 点之前，攻方接球队员能够到达距 A 点小于 lmin 处，球就不会被原位于 B 处的守方队员抢断（如图2所示）．若 L ≤lmin 就相当于第2小题．若 L ＞
lmin ，设攻方接球员位于 Ax 方向上某点 E 处，则他跑到 C1 点所需时间
trm = ( L－lmin ) / vr ； （8）
图2
21 / 2
守方队员到达 C1 处所需时间 tpm = ( d 2 + lmin －2dlmin cosθ ) / vp ．
球不被守方抢断的条件是
trm ＜ tpm ． （9）
即 L ＜
vr1 / 2
( d 2 + l2 －2dl cosθ ) + lmin ， （10） minminvp
式中 lmin 由式（5）给出．
解法二：守方队员到达 C1 点的时间和球到达该点的时间相同，因此有
tpm = lmin / v ．
从球不被守方队员抢断的条件（9）以及式（8）可得到
L ＜ ( 1 + vr / v ) lmin （11）
式中lmin也由式（5）给出．易证明式（11）与（10）相同．
二、
1．（I）选择一个坐标系来测定卫星的运动，就是测定每一时刻卫星的位置坐标x ，y ，z ．设卫星在t时刻发出的信号电波到达第 i 个地面站的时刻为ti ．因为卫星信号电波以光速 c 传播，于是可以写出
(x －xi )2 + (y －yi )2 + (z －zi )2 = c2 (t －ti )2 ( i = 1 ，2 ，3 )， （1） 式中 x i ，yi ，zi 是第i个地面站的位置坐标，可以预先测定，是已知的；ti 也可以由地面站的时钟来测定；t 由卫星信号电波给出，也是已知的．所以，方程（1）中有三个未知数 x ，y ，z ，要有三个互相独立的方程，也就是说，至少需要包含三个地面站，三个方程对应于式（1）中 i = 1 ，2 ，3 的情况．
（II）（i）如图所示，以地心 O 和两个观测站 D1 ，D2 的位置为顶点所构成的三角形是等腰三角形，腰长为 R ．根据题意，可知卫星发出信号电波时距离两个观测站的距离相等，都是
L = c?． （2）
当卫星 P 处于上述三角形所在的平面内时，距离地面的高度最大，即 H ．以 θ 表示 D1 ，D2 所处的纬度，由余弦定理可知
L2 = R2 + ( H + R )2 －2R ( H + R ) cosθ ． （3）
由（2），（3）两式得
H =
(c?)2 －(R sinθ )2 －R ( 1－cosθ ) ． （4）
式（4）也可据图直接写出．
（ii）按题意，如果纬度有很小的误差△θ ，则由式（3）可知，将引起H发生误差△H ．这时有
L2 = R2 + ( H +△H + R )2 －2R ( H +△H + R ) cos ( θ +△θ ) ． （5）
将式（5）展开，因△θ很小，从而△H也很小，可略去高次项，再与式（3）相减，得
R ( R +H ) sinθ△θ
△H = － ， （6）
H + ( 1－cosθ ) R
其中 H 由（4）式给出．
（iii）如果时间?有△?的误差，则 L 有误差
△L = c△? ． （7）
由式（3）可知，这将引起 H 产生误差△H ．这时有
( L +△L )2 = R2 + ( H +△H + R )2 －2R ( H +△H + R ) cosθ． （8）
由式（7），（8）和（3），略去高次项，可得
c2?△?△H = ， （9）
H + R ( 1－cosθ )
其中 H 由式（4）给出．
2．（i）在式（4）中代入数据，算得 H = 2.8 ×104 km ．（ii）在式（6）中代入数据，算得△H =?25m ．（iii）在式（9）中代入数据，算得△H = ±3.0 m ．
3．选择一个坐标系，设被测物体待定位置的坐标为 x ，y ，z ，待定时刻为 t ，第 i 个卫星在 ti 时刻的坐标为 xi ，yi ，z i ．卫星信号电波以光速传播，可以写出
(x －xi )2 + (y －yi )2 + (z －zi )2 = c2 (t －ti )2 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 )， （10） 由于方程（1）有四个未知数 t ，x ，y ，z ，需要四个独立方程才有确定的解，故需同时接收至少四个不同卫星的信号．确定当时物体的位置和该时刻所需要的是式（10）中 i = 1 ，2 ，3 ，4 所对应的四个独立方程．
4．（I）由于卫星上钟的变慢因子为[ 1－( v / c )2] 1 / 2 ，地上的钟的示数 T 与卫星上的钟的示数 t 之差为
T －t = T －
v1－()2 T = [ 1－ c
v1－()2 ] T ， （11）
c
这里 v 是卫星相对地面的速度，可由下列方程定出：
v2GM
= 2 ， （12） rr
其中 G 是万有引力常量，M 是地球质量，r 是轨道半径．式（11）给出
v =
GM
= r
g
R = r
g
R ， R + h
其中 R 是地球半径，h 是卫星离地面的高度，g = GM / R2 是地面重力加速度；代入数值有 v = 3.89 km / s ．于是 ( v / c )2 ≈1.68 ×10
[ 1－ (
－10
，这是很小的数．所以
v2 1 / 2 1v
)]≈1－ ()2 ． c 2 c
最后，可以算出 24 h 的时差
1 v21gR2
T－t ≈()T = 2T = 7.3 μs ． （13）
2 c 2c ( R + h )
（II）卫星上的钟的示数t与无限远惯性系中的钟的示数T0之差
t－T0 =
1－2
c
?
2T0－T0= (
1－22 －1 )T0 ． （14）
c
?卫星上的钟所处的重力势能的大小为
GMR2
?= R + h = R + h g ． （15）
gR2
所以 2 = 2 ；
c c ( R + h )代入数值有?/ c2 = 1.68 ×10
－10
? ，这是很小的数．式（14）近似为
t－T0 ≈－ 2T0 ． （16）
c
类似地，地面上的钟的示数 T 与无限远惯性系的钟的示数之差
?T－T0 =
1－22T0－T0= (
c
?E
1－22 －1 )T0 ． （17）
c
?E地面上的钟所处的重力势能的大小为
所以
c2
?E= R =gR ． （18） ?EgR
=
c2 ；
－10
GM
代入数值有?E/ c2 = 6.96 ×10为
，这是很小的数．与上面的情形类似，式（17）近似
T－T0 ≈－ 2T0 ． （19）
c
（16），（19）两式相减，即得卫星上的钟的示数与地面上的钟的示数之差
?E
第25届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案
