第25届全国中学生物理竞赛决赛试题
2008年10月 北京
★ 理论部分
一、
足球比赛，一攻方队员在图中所示的 A 处沿 Ax 方向传球，球在草地上以速度 v 匀速滚动，守方有一队员在图中 B 处，以 d 表示 A ，B 间的距离，以 θ 表示 AB 与Ax 之间的夹角，已知 θ ＜90° ．设在球离开 A 处的同时，位于 B 处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以 vp 表示他的速率．在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）：
1．求出守方队员可以抢到球的必要条件．
2．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上等球，以 lr 表示他到 A 点的距离，求出球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件．
3．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上，以L表示他离开 A 点的距离．在球离开 A处的同时，他开始匀速跑动去接球，以 vr 表示其速率，求在这种情况下球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件．
A
θ d B x 二、
卫星的运动可由地面观测来确定；而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动．这都涉及时间和空间坐标的测定．为简化分析和计算，不考虑地球的自转和公转，把它当做惯性系．
1．先来考虑卫星运动的测定．设不考虑相对论效应．在卫星上装有发射电波的装置和高精度的原子钟．假设从卫星上每次发出的电波信号，都包含该信号发出的时刻这一信息．
（I）地面观测系统（包含若干个观测站）可利用从电波中接收到的这一信息，并根据自己所处的已知位置和自己的时钟来确定卫星每一时刻的位置，从而测定卫星的运动．这种测量系统至少需要包含几个地面观测站？列出可以确定卫星位置的方程．
（II）设有两个观测站 D1 ，D2 ，分别位于同一经线上北纬 θ 和南纬 θ（单位：（°））
处．若它们同时收到时间?之前卫星发出的电波信号．（i）试求出发出电波时刻卫星距地面的最大高度 H ；（ii）当 D1 ，D2 处观测站位置的纬度有很小的误差△θ 时，试求H的误差；（iii）如果上述的时间?有很小的误差△?，试求 H 的误差．
2．在第1（II）小题中，若 θ = 45° ，?= 0.10 s ．（i）试问卫星发出电波时刻卫星距地面最大高度 H 是多少千米？（ii）若△θ = ±1.0′′ ，定出的 H 有多大误差？（iii）若△?= ±0.010 μs ，定出的 H 有多大误差？假设地球为半径 R = 6.38 × 103 km 的球体，光速 c = 2.998 ×108 m / s ，地面处的重力加速度 g = 9.81 m / s2．
3．再来考虑根据参照卫星的运动来测定一个物体的运动．设不考虑相对论效应．假设从卫星持续发出的电波信号包含卫星运动状态的信息，即每个信号发出的时刻及该时刻卫星所处的位置．再假设被观测物体上有一台卫星信号接收器（设其上没有时钟），从而可获知这些信息．为了利用这种信息来确定物体的运动状态，即物体接收到卫星信号时物体当时所处的位置以及当时的时刻，一般来说物体至少需要同时接收到几个不同卫星发来的信号电波？列出确定当时物体的位置和该时刻的方程．
4．根据狭义相对论，运动的钟比静止的钟慢．根据广义相对论，钟在引力场中变慢．现在来考虑在上述测量中相对论的这两种效应．已知天上卫星的钟与地面观测站的钟零点已经对准．假设卫星在离地面 h = 2.00 ×104 km 的圆形轨道上运行，地球半径 R 、光速 c 和地面重力加速度 g 取第2小题中给的值．
（I）根据狭义相对论，试估算地上的钟经过 24 h 后它的示数与卫星上的钟的示数差多少？设在处理这一问题时，可以把匀速直线运动中时钟走慢的公式用于匀速圆周运动．
（II）根据广义相对论，钟在引力场中变慢的因子是 (1－2?/ c2 )1 / 2 ，?是钟所在位置的引力势（即引力势能与受引力作用的物体质量之比；取无限远处引力势为零）的大小．试问地上的钟 24 h 后，卫星上的钟的示数与地上的钟的示数差多少？
三、
致冷机是通过外界对机器做功，把从低温处吸取的热量连同外界对机器做功所得到的能量一起送到高温处的机器；它能使低温处的温度降低，高温处的温度升高．已知当致冷机工作在绝对温度为 T1 的高温处和绝对温度为 T2 的低温处之间时，若致冷机从低温处吸取的热量为 Q ，外界对致冷机做的功为 W ，则有
Q T2 ≤ ， WT1－T2
式中“=”对应于理论上的理想情况．某致冷机在冬天作为热泵使用（即取暖空调机），在室外温度为－5.00℃的情况下，使某房间内的温度保持在20.00℃．由于室内温度高于室外，故将有热量从室内传递到室外．本题只考虑传导方式的传热，它服从以下的规律：设一块导热层，其厚度为 l ，面积为 S ，两侧温度差的大小为 T ，则单位时间内通过导热层由高温处传导到低温处的热量为
H = k
△T
S ， l
其中 k 称为热导率，取决于导热层材料的性质．
1．假设该房间向外散热是由面向室外的面积 S = 5.00 m2 、厚度 l = 2.00 mm 的玻璃板引起的．已知该玻璃的热导率 k = 0.75 W / ( m ? K )，电费为每度0.50元．试求在理想情况下该热泵工作12 h 需要多少电费？
2．若将上述玻璃板换为“双层玻璃板”，两层玻璃的厚度均为2.00mm ，玻璃板之间夹有厚度 l0 = 0.50 mm 的空气层，假设空气的热导率 k0 = 0.025 W / ( m ? K )，电费仍为每度0.50元．若该热泵仍然工作12 h ，问这时的电费比上一问单层玻璃情形节省多少？
四、
如图1所示，器件由相互紧密接触的金属层( M )、薄绝缘层( I )和金属层( M )构成．按照经典物理的观点，在I层绝缘性能理想的情况下，电子不可能从一个金属层穿过绝缘层到达另一个金属层．但是，按照量子物理的原理，在一定的条件下，
MIM 图1
这种渡越是可能的，习惯上将这一过程称为隧穿，它是电子具有波动性的结果．隧穿是单个电子的过程，是分立的事件，通过绝缘层转移的电荷量只能是电子电荷量－e ( e = 1.60 ×10
－19
C )的整数倍，因此也称为单电子隧穿，MIM 器件亦称为隧穿结或单电子隧穿结．本题
涉及对单电子隧穿过程控制的库仑阻塞原理，由于据此可望制成尺寸很小的单电子器件，这是目前研究得很多、有应用前景的领域．
1．显示库仑阻塞原理的最简单的做法是将图1的器件看成一个电容为C的电容器，如图2所示．电容器极板上的电荷来源于金属极板上导电电子云相对于正电荷背景的很小位移，可以连续变化．如前所述，以隧穿方式通过绝缘层的只能是分立的单电子电荷．如果隧穿过程会导致体系静电能量上升，则此过程不能发生，这种现象称为库仑阻塞．试求出发生库仑
Q －Q A B 图2
阻塞的条件即电容器极板间的电势差VAB = VA－VB 在什么范围内单电子隧穿过程被禁止．
2．假定 VAB = 0.10 mV 是刚能发生隧穿的电压．试估算电容 C 的大小．
3．将图1的器件与电压为 V 的恒压源相接时，通常采用图2所示的双结构器件来观察单电子隧穿，避免杂散电容的影响．中间的金属块层称为单电子岛．作为电极的左、右金属块层分别记为 S ，D ．若已知岛中有净电荷量－ne ，其中净电子数 n 可为正、负整数或零，e 为电子电荷量的大小，两个 MIM 结的电容分别为 CS 和 CD ．试证明双结结构器件的静电能中与岛上净电荷量相关的静电能（简称单电子岛的静电能）为
(－ne )2
Un = ．
2( CS +CD )
4．在图3给出的具有源( S )、漏( D )电极双结结构的基础上，通过和岛连接的电容 CG
添加门电极( G )构成如图4给出的单电子三极管结构，门电极和岛间没有单电子隧穿事件发
图3
图4
生．在 V 较小且固定的情况下，通过门电压 VG 可控制岛中的净电子数 n ．对于 VG 如何控制 n ，简单的模型是将 VG 的作用视为岛中附加了等效电荷 q0 = CGVG ．这时，单电子岛的静电能可近似为 Un = (－ne + q0 )2 / 2C5），考虑库仑阻塞效应，用粗线画出岛中净电子数从 n = 0开始，CGVG / e 由0增大到3的过程中，单电子岛的静电能 Un 随 CGVG 变化的图线（纵坐标表示 Un ，取 Un 的单位为 e/ 2C2
?，式中C?= CS +CD +CG ．利用方格图（图
Un( e2 / 2C?)
?；横坐标表示
图5
CGVG
e
CGVG ，取 CGVG的单位为
e）．要求标出关键点的坐标，并把 n = 0 ，1 ，2 ，3时 CGVG / e 的变化范围填在表格中．（此
小题只按作图及所填表格（表1）评分）．
表1
n CGVG / e变化范围 0 1 2 3 五、
折射率 n = 1.50 、半径为R的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中 O 点为横截面与轴线的交点．光仅允许从半圆柱体的平面 AB 进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角i 射至 AB 整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出．这部分光束在入射到 AB 面上时沿 y 轴方向的长度用 d 表示．本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形．
1．当平行入射光的入射角 i 在0°～90° 变化时，试求 d 的最小值 dmin 和最大值dmax ．
2．在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对 O 点的张角与入射角 i 的关系．并求在掠入射时上述圆弧的位置．
z 六、
根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线．它距离引力中心最近的点称为光线的近星点．通过近星点与引力中心的直线是光线的对称轴．若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标（r ，φ）的原点，选取光线的对称轴为坐标极轴，则光线方程（光子的轨迹方程）为
GM / c2
r = ，
acosφ + a2 ( 1 + sin2φ)
G 是万有引力恒量，M 是星体质量，c 是光速，a 是绝对值远小于1的参数．现在假设离地球 80.0光年处有一星体，在它与地球连线的中点处有一白矮星．如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是1.80×107rad ，试问此白矮星的质量是多少千克？
－
已知 G = 6.673 ×10
－11
m3 / ( kg ?s2 )
第25届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案
