3.2 数列的有界性
在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.
例3(2008年全国II)函数f?x??x?xlnx.数列?an?满足0?a1?1,an?1?f?an?．证明:an?an?1?1．
分析 函数f?x??x?xlnx的不动点是x?1显然此题就是要证明数列向不动点x?1收敛
'证明 当x??0,1?时，f?x???lnx?0，所以f?x?在区间?0,1?内是增函数；又
0?a1?1，所以
a1?a2?f?a1??a1?a1lna1?f?1??1；
假设n?k时有ak?ak?1?1，因为f?x?是增函数x??0,1?，所以
f?ak??f?ak?1??f?1??1，即ak?1?ak?2?1，当n?k?1时结论也成立．故原不等式成
立
这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.
例4（2010年全国I)已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?成立的c的取值范围.
解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为x0，则有1?x0?3，即方程
1，求使不等式an?an?1?3anf?x??x在?1,3?有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.
因为an?an?1?3对任意自然数都成立，所以首先应有a1?a2?3，可得2?c?4． 设f?x??c?1，则f?x?是增函数，x??0,???. x1?x,x2?cx?1?0.当c?2时，该方程有2个不等的实数根．设x令f?x??x，即c?为
x1,x2,x1?x2，由韦达定理x1x2?1，可知x1?1?x2只要让x2?3即可.
iii
令g?x??x?cx?1,g?3??0?c?210. 3即当c?10?10?时，f?x?在?1,3?上存在不动点x0(x0就是x2)所以c的取取范围是?2,?.3?3?再用数学归纳法证明结论的正确性：
因为1?x0?3且f?x??c?110在?0,???是增函数，所以当2?c?时，
3x有a1?1?a2?f?1??x0?f?x0?.
假设n?k时，有ak?ak?1?x0?3．因为f?x?是增函数，故f?ak??f?ak?1??f?x0?，即ak?1?ak?2?x0，当n?k?1时结论也成立，所以当c的取值范围是?2,?10?时， ?3??f?x??c?1有在区间?1,3?内的不动点x0，数列?an?单调递增向该不动点收敛. x3.3 数列的单调性及收敛性
近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．
3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论
定义8 设f:I?R，其中I是R的一个区间，数列?xn?由a1?a和递推关系
xn?1?f?xn?来定义.则数列?xn?称为递推数列.f?x?称为数列?xn?的特征函数，x?f?x?称为数列?xn?的特征方程，x1?a称为初始值.
若设f是连续的，若?xn?收敛而且有极限x0，x0?limxn?1?limf?xn??f?x0?.因此问题就变为寻找方程 x?f?x?解(即f的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 x0．
定理 11设f是定义在I上的一个压缩映射，则由任何初始值x1??a,b?和递推数列
xn?1?f?xn?，n?N*生成的数列?xn?收敛．
证明：由于f是?a,b?上的一个压缩映射，故f??a,b????a,b?，则xn??a,b?，且
?k??0,1?，使得?n,p?N*，有
ii
xn?xn?p?f?xn?1??f?xn?p?1??kxn?1?xn?p?1
?k2xn?2?xn?p?2???kn?1x1?xp?1 ?kna?b.于是，???0（不妨设 ??b?a)，只要取N??ln/lnk?,?n,p?N*，都有
b?a?????xn?xn?p??根据Cauchy收敛准则，?xn?收敛．[证毕]
定义9 在不动点x0处，若f'?x0??1，则称x0为y?f?x?的吸引不动点；若
f'?x0??1，则称x0为y?f?x?的排斥不动点．
定理12 若y?f?x?是定义在I上的连续可导函数，x0是吸引不动点，则存在x0的邻域区间U ，对一切 x?U，都有f'?x??1且limf(x)?x0．这里的记号
nn??fn(x)?f(fn?1`(x)).
证明：因为f?x?连续可导，又f'?x0??1，则这样的区间 显然存在． 对任意一点x?U，在x,x0为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得
f?x??x0?f?x??f?x0??f'???x?x0?x?x0
所以，f?x??U 由定理1可得数列f??x??收敛，且limfnn??n(x)?x0．[证毕]
定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列?xn?将以何种方式收敛于x0.
定理13 若y?f?x?是定义在I上的连续可导函数，只有一个不动点 x0，且为吸引不
*动点，初始值x1?x0,递推数列xn?1?f?xn?,n?N，则(1)当f在I上递增时，则数列?xn?单调且收敛于x0；(2)当f在I上递减时，则?xn?的两个子列的?x2k?1?和?x2k?一递增一递减，且收敛于x0．
证明：(1)当f在I上递增时，若f?x1??x2?x1，则由数学归纳法可证明
xn?1?f?xn??f?xn?1??xn，?xn?递增；若f?x1??x2?x1，则由数学归纳法可证明 xn?1?f?xn??f?xn?1??xn，?xn?递减．
(2)当f在I上递减时，此时复合函数f?f?x??递增，而子数列?x2k?1?和?x2k?中有一个递增，另一个递减．若x3?x1，用数学归纳法可证明?x2k?1?单调递增．事实上，若
x2k?1?x2k?1，则 x2k?f?x2k?1??f?x2k?1??x2k?2，x2k?1?f?x2k??f?x2k?2??x2k?3，
iii
由此可得?x2k?单调递减；若x3?x1，证明类似．[证毕]
定理14 若y?f?x?是定义在I上的连续可导函数，有且只有两个不动点?,??????且f'????1,f'????1，异于?,?的初始值x1，递推数列xn?1?f?xn?,n?N*．则两个不
''动点?,?至多只有一个吸引不动点．
证明：设函数g?x??f?x??x，则g?x??f?x??1.假设两个不动点?,?同为吸引不
????0,g'????0.又g????g????0，可得
00??,??,使得g'?x??0，则?a?U????0,?U???,??,g?a??g????0，同理
?b?????,??，使得g?b??0．由g?x?连续及零点存在定理，得g?x?在区间?a,b?上必有一个零点．这与g?x?仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点?,? ，至多
动点，则f'????1,f'????1从而g'一个为吸引不动点．[证毕]
定理15 若y?f?x?是定义在I上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点
''?,??????，且?,?，中有一个吸引不动点，f????1,f????1．异于?,?的初始值x1，
*递推数列 xn?1?f?xn?,n?N，则?为吸引不动点，?为排斥不动点，且当x1?? ?xn?单调递增且收敛于?；?xn?单调递减且收敛于?；?xn?当??x1??时，当 x1??时， 单调递增且不收敛； '证明：由y?f?x?为凸函数，可得f?x?为增函数．由???且中有一个吸引不动点及 ????1?f'???，即?为吸引不动点，?为排斥不动点．构造函数 g?x??f?x??x，则g'?x??f'?x??1为增函数且g'????0,g'????0．于是?x???,??， '使得g?x??0，于是g?x?在???,x?上递减，在?x,??上递增．下面分四种情况进行说明： 定理4得f'(1)当x1??时，g?x1??g????0即f?x1??x1，所以x2?x1，结合数学归纳法易证 ?xn?单调递增且收敛于?； (2)当??x1?x时，g?x1??g????0即f?x1??x1，所以x2?x1，结合数学归纳法易证?xn?单调递减且收敛于?； (3)当x?x1??时，g?x1??g????0即f?x1??x1所以x2?x1，结合数学归纳法易证?xn?单调递减且收敛于?； (4)当x1??时，g?x1??g????0即f?x1??x1，所以x2?x1，结合数学归纳法易证 ?xn?单调递增且不收敛． 综上，当x1??时，?xn?单调递增且不收敛；当??x1??时，?xn?单调递减且收敛于?；当x1??时，?xn?单调递增且收敛于? [证毕] 定理表明初始值也将影响数列?xn?收敛与否、以何种方式收敛于?. ii 3.3.2 数列的单调性、收敛性的证明 当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决． 例5 (2007广东理)已知函数f?x??x?x?1,?,?是方程f?x??0的两个根 2'(???) ,f?x?是f?x?的导数．设a1?1,an?1?an?f?an?(n?1,2,?).(1)求?,?的'f?an?值；(2)证明：对任意的正整数n,都有an??；(3)略． 解：(1)易得.???1?5?1?5 ,??2222x2?1an?an?1an?1(2)f?x??2x?1，则an?1?an?，特征函数g?x??，特?2x?12an?12an?1'x2?1?1?5?1?52征方程 x?， 即x?x?1?0，于是不动点??，,??2x?1222f???2f???2x2?x?22f?x?''????，g???0,g???0,可得g?x???2222?2??1??2??1??2x?1??2x?1?'???,? 均为吸引不动点． 又a1?1??,a2?g?a1??n???2?1,当 x???,???,g'?x??0,由定理13可得数列?an?单3调递减，且liman?a,an??. x2?1本题的背景是牛顿切线法求方程f?x??0的近似解.本题特征函数g?x??在定 2x?1义域上不连续，有两个吸引不动点．由于初始值a1?1??且不动点的导数值恰为0，使得 x???,???时恒有g'?x??0，使问题简单化． 例6(2009陕西22)已知数列?xn?满足，x1?11,xn?1?,n?N*. 21?xn⑴猜想数列?xn?的单调性，并证明你的结论；(2)略． iii
不动点定理及其应用（高考）
