已知线性无关,所以,故
也线性无关。
已知
把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若,则有
则说明向量
,并一定有
。否则若
,
线性无关,而表示把线性无关的向量
可得
,
组变为线性相关的向量组,与条件矛盾。而由即是单射线性变换。 习题7.1.9设
是
中全体可逆线性变换所成的子集,证明
关于线性变换的乘法构成一个群。(超范围略) 习题7.1.10设(1)若(2)若证明:(1)因为
,则
,
,
是上的线性变换,且,则
;
。 。所以
,
从而
或
。又因为
。
故
。
,
,所以
。
证明
(2)因为
习题7.1.11设与分别是数域上的维与维线性空间,
,证。
是的一个有序基,对于
明存在唯一的线性映射
,使
中任意个向量
,,
证明:先证明存在性。对任意的有唯一的线性表达式
我们定义显然有
,
。
现验证为到的一个线性映射。
,因为 ,由定义得
。
(1)对任意的向量
(2)对任意的得
,因为,由定义
所以为到
的一个线性映射。
的一个线性映射,也使得
。 ,一定有
。
。
再证唯一性:若另有到
,
则对任意向量
由在中的任意性,可得习题7.1.12设
与
。
上的维与
维线性空间,是
的子空间。
为的
分别是数域
是线性映射。证明
又若零度,称
有限,证明
为的秩。
与,有,故,则
所以
为
的子空间.
是的子空间,
。这时称
证明:(1)先证对所以
,
分别为与的子空间,
, ,
为的子空间;同理,对,使
,
,所以
(2)再证 因
有限,不妨设
,
,在
中取一个基 ,则
,再把它扩充为的一个基
是像空间
事实上,对设
的一个基. ,存在
,使得
,则有
。
即
中的任意向量都可由
线性无关:
线性表示。
现证向量组
设 ,有,所以向量
线性表示,进而有
,即 可由向量组
,整理有 ,
又因
线性无关,所以必有
线性无关,即
为。
习题7.1.13证明
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法
,因此
的一个基,故
与数量乘法构成上的一个线性空间。
证明:现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法量乘法
都是从到
的线性映射。 ,
,有
故
,
故
为到
的线性映射。
与数量乘法
;
显然满足:
为到
的线性映射。同理,对
,
,
,有 与数
事实上,对
另外线性映射的加法 (1) 结合律:
(2)交换律: ;
,有
; ,使得
;
;
(3)存在零线性映射,对 (4)对 (5)(8)所以
,有负线性映射
; (6)
。其中
; (7)
,
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法
构成上的一个线性空间。 习题7.1.14证明:证明:设
为维线性空间,
为和
。
维线性空间,即的一组基,其中为在基
到
的同构映
,。令
。取定的一组基
为与基射。
事实上,(1)若
,
个都有
(2)
,
到
的如下映射:
下的矩阵。这样定义的是
,且,则有。由于
,对每一
,故有,令
,即是单射。
。
则存在唯一的线性映射使得
,并且