已知线性无关，所以，故
也线性无关。
已知
把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若，则有
则说明向量
，并一定有
。否则若
，
线性无关，而表示把线性无关的向量
可得
，
组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由即是单射线性变换。 习题7.1.9设
是
中全体可逆线性变换所成的子集，证明
关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略） 习题7.1.10设（1）若（2）若证明：（1）因为
，则
，
，
是上的线性变换，且，则
；
。 。所以
，
从而
或
。又因为
。
故
。
，
，所以
。
证明
（2）因为
习题7.1.11设与分别是数域上的维与维线性空间，
，证。
是的一个有序基，对于
明存在唯一的线性映射
，使
中任意个向量
，，
证明：先证明存在性。对任意的有唯一的线性表达式
我们定义显然有
，
。
现验证为到的一个线性映射。
，因为 ，由定义得
。
（1）对任意的向量
（2）对任意的得
，因为，由定义
所以为到
的一个线性映射。
的一个线性映射，也使得
。 ，一定有
。
。
再证唯一性：若另有到
，
则对任意向量
由在中的任意性，可得习题7.1.12设
与
。
上的维与
维线性空间，是
的子空间。
为的
分别是数域
是线性映射。证明
又若零度，称
有限，证明
为的秩。
与，有，故，则
所以
为
的子空间.
是的子空间，
。这时称
证明：（1）先证对所以
，
分别为与的子空间，
， ，
为的子空间；同理，对，使
，
，所以
（2）再证 因
有限，不妨设
，
，在
中取一个基 ，则
，再把它扩充为的一个基
是像空间
事实上，对设
的一个基. ，存在
，使得
，则有
。
即
中的任意向量都可由
线性无关：
线性表示。
现证向量组
设 ，有，所以向量
线性表示，进而有
，即 可由向量组
，整理有 ，
又因
线性无关，所以必有
线性无关，即
为。
习题7.1.13证明
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法
，因此
的一个基，故
与数量乘法构成上的一个线性空间。
证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法量乘法
都是从到
的线性映射。 ，
，有
故
，
故
为到
的线性映射。
与数量乘法
；
显然满足：
为到
的线性映射。同理，对
，
，
，有 与数
事实上，对
另外线性映射的加法 （1） 结合律：
（2）交换律: ；
，有
； ，使得
；
；
（3）存在零线性映射，对 （4）对 （5）（8）所以
，有负线性映射
； （6）
。其中
； （7）
，
关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法
构成上的一个线性空间。 习题7.1.14证明：证明：设
为维线性空间，
为和
。
维线性空间，即的一组基，其中为在基
到
的同构映
，。令
。取定的一组基
为与基射。
事实上，（1）若
，
个都有
（2）
，
到
的如下映射：
下的矩阵。这样定义的是
，且，则有。由于
，对每一
，故有，令
，即是单射。
。
则存在唯一的线性映射使得
，并且
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
