第七章 线性变换与相似矩阵 习题7.1
习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ）解：当当
时，时，有
，
，
显然是的线性变换；
，
，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ）解：当当
，时，时，有
；
显然是的线性变换；
，
，则，则
，即此时不是的线性变换。
（2）在（Ⅰ）解：不是
中，
，
的线性变换。因对于，所以
（Ⅱ）解：是则有
的线性变换。设
。
； ，其中
，
，
，
，有
，
。
（3）在（Ⅰ）解：是
中，
，
的线性变换：设
，则
，
，
（Ⅱ）解：是
。
，其中是中的固定数；
的线性变换：设
，则 ，
，
。
，其中是的
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数； 解：
不是线性变换。因为取
，即
（5）在
。
，
时，有
，
中，设与是其中的两个固定的矩阵，。
，
解：是的线性变换。对，，有 ，
。
习题7.1.2在轴向
中，取直角坐标系
，以表示空间绕
表示空间绕轴由
轴向
轴由方向
方向旋转900的变换，以
旋转900的变换，以变换。证明
表示空间绕轴由轴向方向旋转900的
（表示恒等变换）， ， ；
并说明证明：在知：
是否成立。
中任取一个向量
， ，，即
，；，故
， ，所以
。
，则根据
，；，
。 及
的定义可
，，
因为
因为， ，所以
。
，
，所以
。
，证明
。
因为
习题7.1.3在证明：在
中，中任取一多项式
，，有
。所以
习题7.1.4设，是上的线性变换。若
。
证明：用数学归纳法证明。当
时，有
。
，证明
命题成立。假设等式对成立，即也成立。因有
。下面证明等式对
，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则 证明：（1）设进而
。
，
。
也是可逆线性变换，且
都是的逆变换，则有
。即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有
，同理有
由定义知
是可逆线性变换，。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量
都不是零向量，但 线性无关。
证明：设
，依次用，得
故即得
。 ；同理有：
；依次类推可得
，即得
，而，得
可得
，，
，进而得
，且，。证明
，
，，
，，
为
逆变换，有唯一性得
有定义知，，，线性无关。
习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。 证明：两端用若任取变换。
已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定
，定有，同时有
知是可逆线性变换。
习题7.1.8设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为
；（2）是单射线性变换的充要条件为把线性
，且有
，规定，即有
，有。由定义
已知是可逆线性变换，即存在作用即得，则存在
。若
，则
，因此是单射线性变换。
，使得
，即是满射线性
义新的变换：
无关的向量组变为线性无关的向量组。 证明：（1）
已知
是单射线性变换，对，即
。 ，则有
，故是单射。
线性无关，现证
，整，，得，则有
，由单射得
已知
，若，即得
（2）
已知
是单射线性变换。设也线性无关。令
理有，而是单射，有
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
