广东省惠州市2019-2020学年高考一模考试
数学（理科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩?RN=（ ） A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3} C．{﹣1，0，1}
D．{0，1}
2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（ ） A．1
B．﹣1 C．4
D．﹣4
3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（ ） A．2
B．4
C．8
D．12
4．ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内（含正方体表面）随机取一点M，OM≤1的概率p=（ ） A．
B．
C．
D．
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（ ）
A．2 B．4+2 C．4+4 D．6+4
6．等差数列中{an}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（ ） A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
7．F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（ ） A．3
B．4
C．3
或
D．3
或4
8．若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（ ） A．﹣4 B．﹣3 C．2
D．3
9．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
10．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A．直线
B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
，
]的值域是[﹣
11．函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）（ω＞0）在区间[
，]，则常数ω所有可能的值的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．4
12．已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣2] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，f（1）=0，不等式f（x）＞0的解集为 ． 14．正项数列{an}满足a1=，a1+a2+…+an=2anan+1，则通项an= ．
15．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为 ． 16．若向量、满足|+|=2，|﹣|=3，则||?||的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）若b+c=5，a=
，求△ABC的面积的大小．
?
．
18．（12分）为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）： 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182
181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 （Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图； 通行数量区间 频数
[155，165） [165，175） [175，185） [185，195） [145，155）
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．
19．（12分）如图，多面体EF﹣ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．
20．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax，a是常数．
（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程； （Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．
21．（12分）椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一
个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为
（t为参数）．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C上到直线l的距离为d的点的个数为f（d），求f（d）的解析式．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a+1|（a＞0是常数）． （Ⅰ）证明：f（x）≥1； （Ⅱ）若f（3）＜
，求a的取值范围．
广东省惠州市2019-2020学年高考一模考试
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩?RN=（ ） A．{﹣1，0，1，3} B．{0，1，3} C．{﹣1，0，1} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出N，从而得到CRN，由此能求出M∩?RN． 【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}， N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}， ∴CRN={x|﹣1＜x＜2}， ∴M∩?RN={0，1}． 故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．
2．设i是虚数单位，若（2a+i）（1﹣2i）是纯虚数，则实数a=（ ） A．1
B．﹣1 C．4
D．﹣4
D．{0，1}
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 【解答】解：∵（2a+i）（1﹣2i）=2a+2+（1﹣4a）i是纯虚数， ∴故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a﹣b|=（ ） A．2
B．4
C．8
D．12
，解得a=﹣1．
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
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