空间几何体的直观图
[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.
知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
思考 相等的角在直观图中还相等吗
答 不一定，例如正方形的直观图为平行四边形. 知识点二 空间几何体直观图的画法
1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. 2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面. 3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. 4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 思考 空间几何体的直观图惟一吗
答 不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.
题型一 画水平放置的平面图形的直观图
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
1
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画
2
C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练1 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠A＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图.
解 (1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°. (2)在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE33＝≈ cm；
2
1
过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝
2
DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
题型二 由直观图还原平面图形
例2 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.
解 ①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′； ②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过
D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.
跟踪训练2 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.
解 如图为原平面图形.
由斜二测画法可知，
OB＝2O′B′＝22 cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°.
所以四边形OABC为平行四边形， 且BC＝OC＋OB＝1＋8＝3(cm)，
故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm). 题型三 空间几何体的直观图
例3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
2
2
解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.
图3
跟踪训练3 由如图所示几何体的三视图画出直观图.
解 (1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，
BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
空间几何体的直观图(附答案)
