2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1．有几组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③立方体的棱长和体积． 其中两个变量成正相关的是( ) A．①③ C．②
B．②③ D．③
【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 【答案】 C
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错．
【答案】 C
^^^^
3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b( ) A．不能小于0 C．不能等于0
B．不能大于0 D．只能小于0
^^
【解析】 当b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0，也能小于0. 【答案】 C
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
^^①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x^^
正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( ) ．．．
A．①② C．③④
B．②③ D．①④
【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确． 【答案】 D
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元 销售额y/万元 4 49 2 26 3 39 5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元 C．67.7万元
B．65.5万元 D．72.0万元
1
【解析】 x＝(4＋2＋3＋5)＝3.5，
4
y＝(49＋26＋39＋54)＝42，
^^
所以a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1， ^
所以回归方程为y＝9.4x＋9.1，
^
令x＝6，得y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B. 【答案】 B 二、填空题
^
6．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．
^
【解析】 当x＝80时，y＝400＋250＝650. 【答案】 650
^
7．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝________. 1
【解析】 因为x＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
5且回归直线过样本中心点(x，y)， 所以y＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 58.5
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：
1
4
^
y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加
________万元．
^
【解析】 由于y＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
【答案】 0.254 三、解答题
9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件) 成本y(万元) (1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数) 【解】 (1)散点图如图所示．
2 7 3 8 5 9 6 12
^^^
(2)设y与产量x的线性回归方程为y＝bx＋a，
x＝
n2＋3＋5＋67＋8＋9＋12
＝4，y＝＝9， 44
?xiyi－nx y^
i＝1
b＝
ni－nx?x2i＝1
2
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4－4x y＝
222x21＋x2＋x3＋x4－4x2
11
＝ 10
＝1.10， ^
a＝y－bx＝9－1.10×4＝4.60.
^
∴回归方程为：y＝1.10x＋4.60.
[能力提升]
1．根据如下样本数据：
^－
x y 3 4.0 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2.0 8 －3.0 ^得到的回归方程为y＝bx＋a，则( ) A．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0
【解析】 作出散点图如下：
B．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
^^
观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0. 【答案】 B
2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对^
总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
【解析】 令两人的总成绩分别为x1，x2. 则对应的数学成绩估计为 ^
y1＝6＋0.4x1，y2＝6＋0.4x2，
^^
所以|y1－y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 【答案】 20
3．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄
10
10
10
100
^
yi(单位：千元)的数据资料，算得?xi＝80，?yi＝20，?xiyi＝184，?x2i＝720.
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
n?xiyi－nxyi＝1
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝
ni－nx?x2i＝1
，a＝y－bx，其中x，y为样2
^^^
本平均值，线性回归方程也可写为y＝bx＋a.
【解】 (1)由题意知n＝10，x＝
1
nni＝1
?xi＝＝8，
8010
y＝1
nyi＝＝2， n?10
i＝1
n20
又lxx＝?xi－nx＝720－10×8＝80，
2
2
2
i＝1
nlxy＝?xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，
i＝1
由此得b＝
lxy24
＝＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4. lxx80
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关． (3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
2017-2018版高中数学 第二章 统计 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量
