《电动力学》第21讲§4.1介质中的Maxwell方程组

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第21讲 介质中的Maxwell方程组 第4章 介质中的电动力学（1） §4.1 介质中的Maxwell方程组

§4.1.1 介质的电磁性质

1. 关于介质的概念 现在讨论介质存在时电磁场和介质内部的电荷电流互相作用问题。

介质由分子组成，分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。从电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。在研究宏观电磁现象时，我们所讨论的物理量是在一个包含大数目分子的物理小体积的平均值，称为宏观物理量。

由于分子是电中性的，而且在热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有确定的关联，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电流分布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子（原来正负电中心不重合的分子）的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。由于极化和磁化的原因，介质内部及表面上便出现宏观的电荷电流分布，我们把这些电荷、电流分别称为束缚电荷和磁化电流。这些宏观电荷电流分布反过来又激发起附加的宏观电磁场，叠加在原来外场上而得到介质内的总电磁场。介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布和电磁场之间相互作用的结果。

2. 介质的极化 存在两类电介质。一类介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极距。另一类介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规则性，在物理小体积的平均电偶极距为零，因而也没有宏观电偶极距分布。在外场作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极距平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极距分布。宏观电偶极距分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积ΔV内的总电偶极距与ΔV之比，

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P =

?pi (4.1---1) ?V式中pi为第i个分子的电偶极距，求和符号表示对ΔV内所有分子求和。

由于极化，分子正负电中心发生相对位移，因而物理小体积ΔV内可能出现净余的正电或负电，即出现宏观的束缚电荷分布。我们现在首先要求出束缚电荷密度ρp和电极化强度P之间的关系。

我们用一个简化模型来描述介质中的分子。设每个分子由相距为l的一对正负电荷±q构成，分子电偶极距为p = ql。图1-7示介质内某曲面S上的一个面元dS。介质极化后，有一些分子电偶极子跨过dS。由图可见，当偶极子的负电荷处于体积l ? dS内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS外边。设单位体积分子数为n，则穿出dS外面的正电荷为

nql?dS?np?dS?P?dS （4.1---2） 对包围区域V的闭合界面S积分，则由V内通过界面S穿出去的正电荷为 ?P?dS

S由于介质是电中性性的，这量也等于V内净余的负电荷。这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷。以ρp表示束缚电荷密度，有 ??PdV???P?dS

VS把面积分化为体积分，可得上式的微分形式

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?P（4.1---3）

=???P

非均匀介质极化后一般在整个介质内部都出现束缚电荷；在均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷附近以及介质界面处。现在我们说明两介质分界面上的面束缚电荷的概念。图1-8示介质1和介质2分界面上的一个面元dS.在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包含在薄层内。在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为界面上的束缚电荷面密度。由（4.1---2）式，通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为P2 ? dS，由介质1通过薄层左侧面进入薄层的正电荷为P1 ? dS。因此，薄层内出现的净余电荷为 ?( P2 ? P1) ? dS。以σp表示束缚电荷面密度，有

?PdS??(P2?P1)?dS， 由此，

?P=?n?(P2?P1)， （4.1---4）

n为分界面上由介质1指向介质2的法线。由以上推导可见，所谓面束缚电荷不是真正分布在一个几何面上的电荷，而是在一个含有相当多分子层的薄层内的效应。

介质内的电现象包括两个方面。一方面电场使介质极化而产生束缚电荷分布，另一方面这些束缚电荷又反过来激发电场，两者是互相制约的。介质对宏观电场的作用就是通过束缚电荷激发电场。因此，若在麦氏方程中电荷密度ρ包括自由电荷密度ρf和束缚电荷密度ρp在内，则在介质内麦氏方程（3.10）式仍然

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成立。

?。（4.1---5）

在实际问题中，自由电荷比较容易受实验条件的直接控制或观测，而束缚电荷则不然。因此，在基本方程中消去ρp比较方便。把（4.1---3）式代入（4.1---5）式得

??。E?P)??f ?（??E??f??P

（4.1---6）

引入电位移矢量D,定义为

D??。E?P （4.1---7）

（4.1---6）式可写为

??D??f （4.1---8）

在此式中已消去了束缚电荷，但引进了一个辅助场量D.由（4.1---5）和（4.1---8）式看出，E的源是总电荷分布，它是介质中的总宏观电场强度，是电场的基本物理量；而D并不代表介质中的强场，它只是一个辅助物理量。

由于在基本方程（4.1---8）中引入了辅助场量D,我们必须给出D和E之间的实验关系才能最后解出电场强度。实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，

D和E的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化强度P和E之间有简单的线性关系

P??e?。E （4.1---9）

χe称为介质的极化率。由（4.1---7）式得

D??E （4.1---10） ???r?。，εr?1??e （4.1---11）

ε称为介质的电容率，εr为相对电容率。

3. 介质的磁化 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规则性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子

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电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度JM。

分子电流也可以用磁偶极距描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩为

m?ia （4.1---12） 介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积

ΔV内的总磁偶极距与ΔV之比， M??m?Vi （4.1---13）

现在我们求磁化电流密度JM与磁化强度M的关系。如图1-9，设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L.为了求出磁化电流密度，我们计算从S的背面流向前面的总磁化电流IM.由图可见，若分子电流被边界线L链环着，这分子电流就对IM有贡献。在其他情形下，或者分子电流根本不通过S，或者从S背面流出来后再从前面流进，所以对IM都没有贡献。因此，通过S的总磁化电流IM等于边界线L所链环着的分子数目乘上每个分子的电流i 。

图1-10示边界线L上的一个线元dl。设分子电流圈的面积为a 。由图可见，若分子中心位于体积为a ? dl的柱体内，则该分子电流就被dl所穿过。因此，